Елементи теорії множин. Операції над множинами



Скачати 450.39 Kb.
Сторінка1/3
Дата конвертації22.03.2018
Розмір450.39 Kb.
  1   2   3

Форма навчання: денна

Інститут психолого-педагогічної освіти і мистецтв

Кафедра математики і методики викладання математики інституту фізико-математичної і технологічної освіти
Дисципліна: Математика

2 курс, групи 23-24 (спеціалізація: початкове навчання)


Плани практичних занять

2 півріччя 2011/2012 н.р.

Практичне заняття №1

Тема: Елементи теорії множин. Операції над множинами

План заняття

  1. Перевірка теоретичних відомостей.

  2. Розв’язування тренувальних вправ.

  3. Постановка завдань та рекомендації щодо самопідготовки студентів до практичного заняття № 2.

    1. Запитання для перевірки теорії:

      • Що розуміють у математиці під поняттям множини?

      • У чому полягає універсальність поняття множини?

      • Чим визначається конкретна множина?

      • Що є елементами множини? Чи можуть елементи однієї і тієї самої множини мати різну природу?

      • Наведіть приклади множин.

      • Які існують способи завдання множин? Наведіть приклади.

      • Назвіть та охарактеризуйте види множин.

      • Дайте означення плоскої геометричної фігури з використанням поняття "множина". Як формулюється означення просторової геометричної фігури?

      • Для чого використовуються "діаграми Ейлера"?

      • Які множини вважаються рівними? Які властивості має відношення рівності?

      • В яких відношеннях можуть знаходитись дві непорожні множини, що перетинаються? Як розтлумачити перетин множин?

      • Що розуміється в науці під поняттям? Назвіть характеристики поняття.

      • Як, розглядаючи обсяг поняття як множину, охарактеризувати можливі відношення між поняттями?

      • Що розуміється під універсальною множиною?

      • Які множини називаються числовими? Інша назва числових множин.

      • Як символічно записуються і зображуються графічно числові проміжки (множини)?

      • Сформулюйте означення операцій над множинами. Наведіть приклади.

      • Охарактеризуйте зв’язки між множинами і поняттями.

    2. Зразки тренувальних вправ:

  1. Виписати всі елементи множини {а | аZ і -6 ≤ а≤ 2}, де Z – множина цілих чисел.

  2. Виписати всі елементи множини {а | аZ і а2 49}, де Z – множина цілих чисел.

  3. Дано множини: А = {х| хN, х ≤ 27, х – непарне число} і В = {х| хN, х ≤ 57, х – парне число}. Знайти А∩В, АВ.

  4. Дано множини: А = {х| хN, х ≤ 27, х – парне число} і В = {х| хN, х ≤ 57, х – просте число}. Знайти А∩В.

  5. Користуючись зображенням числових множин на координатній прямій, для множин А = (2; 7), В = [4; 9], C = (- ∞; 3) i F = [6; + ∞) знайти .

  6. На другому курсі університету навчається 50 студентів, які вивчають англійську та німецьку мови. Скільки студентів вивчають тільки англійську мову, якщо відомо, що дві мови одночасно вивчають 20 студентів, а тільки німецьку – 5? Проілюструйте розв’язок за допомогою діаграм Ейлера-Венна.

  7. Користуючись зображенням числових множин на координатній прямій, для множин А = (2; 7), В = [4; 9], C = (- ∞; 3) i F = [6; + ∞), знайти , .

  8. Знайти множину розв’язків рівняння (х – 2)(х + 3)(х29) = 0, які належать: 1) N; 2) Z; 3) Q.

    1. Завдання для самопідготовки до практичного заняття №2

  1. Скласти самостійно добірку задач (не менш трьох) на практичне застосування вивченого теоретичного матеріалу.

  2. Розв’язати задачі: №6 (а -д), №№9-10, 12, 17, 20, 22, 23 [3, с. 19-20].


Література

  1. Вагіна Н.С. Практикум з дисципліни «Математика». Частина 1 /Н.С. Вагіна. – Бердянськ, БДПУ, 2011. – С. 4 -5.

  2. Затула Н.І., Зуб А.М., Коберник Г.І., Нещадим А.Ф. Математика: Навчальний посібник. – К.: Кондор, 2006. – С. 8-23.

  3. Курс математики: Навчальний посібник /В.Н. Боровик, Л.М. Вивальнюк та ін.. – К.: Вища школа, 1995. – 392 с.

  4. Кухар В.М., Білий Б.М. Теоретичні основи початкового курсу математики. Навчальний посібник для педагогічних училищ. Вид. 2-ге. – К.: Вища школа. Головне видавництво, 1987. – 319 с.

  5. Кухар В.М., Тадіян С.І., Тадіян В.П. Математика. Множини. Логіка. Цілі числа: Практикум. – К.: Вища школа. Головне видавництво, 1989. – 333 с.

  6. Кужель О.В. Елементи теорії множин і математичної логіки: Посібник для самоосвіти вчителів. – К.: Рад. шк., 1977. – 166 с.


Практичне заняття №2

Тема: Кортеж. Прямий (декартів) добуток множин

План заняття

  1. Перевірка теоретичних відомостей (експрес-контроль).

  2. Розв’язування тренувальних вправ.

  3. Постановка завдань та рекомендації щодо самопідготовки студентів до практичного заняття №3.




  1. Запитання для перевірки теорії:

    • Що розуміють у математиці під поняттям кортежу?

    • Як називаються об’єкти, з яких складається кортеж?

    • Що є довжиною кортежу?

    • Як називається кортеж завдовжки 0?

    • Назвіть ознаки рівності кортежів.

    • Яку довжину має впорядкована пара?

    • Що називається декартовим добутком двох множин? Як він символічно позначається?

    • За яких умов декартів добуток множин буде нескінченною множиною?

    • Що є прямим (декартовим) квадратом?

    • Назвіть та запишіть символічно властивості декартового добутку множин.

    • Як обчислити кількість елементів у декартовому добутку кількох скінченних множин (правило добутку)?




  1. Зразки тренувальних вправ:

№№ 1-7 [1].

Завдання для самопідготовки до практичного заняття №3


  1. Законспектувати теоретичний матеріал з теми «Відповідності і відношення» за планом:

  1. Які відповідності називаються бінарними? [3, с. 21]

  2. Як позначають та записують символічно відповідність α? [3, с. 21]

  3. Розтлумачте поняття базових множин. [3, с. 21]

  4. Наведіть приклади матричного подання відповідностей. [3, с. 22, рис. – с. 23]

  5. Наведіть приклад подання відповідностей за допомогою графів. [3, с. 22, рис. – с. 23]

  6. Поняття образу та прообразу елемента при відповідності α. [3, с. 23]

  7. Поняття образу і прообразу множин. [3, с. 24]

  8. Типи відповідностей (з прикладами) [3, с. 25 – 26]

  9. Розбиття множин. [3, с. 30]

  1. Розв’язати задачі: №11, 12(а-д), 15, 16(а-б), 18, 21 [3, с. 19-20]; №1(а-в), 17, 21(а-д), 25 [3, с. 40-41].

  2. Підготуватися з теоретичних питань до теми «Комбінаторні задачі»


Література

  1. Вагіна Н.С. Практикум з дисципліни «Математика». Частина 1 /Н.С. Вагіна. – Бердянськ, БДПУ, 2011. – С. 6 -7.

  2. Затула Н.І., Зуб А.М. та ін. Математика: Навчальний посібник. – К.: Кондор, 2006.

  3. Курс математики: Навч. посібник /В.Н. Боровик, Л.М. Вивальнюк та ін.. – К.: Вища школа, 1995. – 392 с.

  4. Кухар В.М., Тадіян С.І., Тадіян В.П. Математика. Множини. Логіка. Цілі числа: Практикум. – К.: Вища школа. Головне видавництво, 1989. – 333 с.

  5. Кужель О.В. Елементи теорії множин і математичної логіки: Посібник для самоосвіти вчителів. – К.: Рад. шк., 1977. – 166 с.



Практичне заняття №3

Тема: Комбінаторні задачі

План заняття

  1. Експрес-контроль (з тем занять №1 і №2).

  2. Повторення теоретичного матеріалу.

  3. Розв’язування тренувальних вправ.

  4. Постановка завдань та рекомендації щодо самопідготовки студентів до практичного заняття №4.

        1. Типові вправи тестового експрес-контролю [1, 8-9]

        2. Основні теоретичні відомості [1, 9-10]

Запитання для перевірки теорії

  1. Що вивчає наука комбінаторика?

  2. Сформулюйте та проілюструйте прикладами правило суми та правило добутку.

  3. Які комбінації називають розміщеннями, сполученнями, перестановками? За якими формулами знаходять кількості цих комбінацій без повторень?

  4. Які формули застосовують для підрахунку кількості розміщень з повтореннями?

  5. Перестановок з повтореннями?

  6. Сполучень з повтореннями?

        1. Зразки тренувальних вправ

  1. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 7?

  2. Скількома способами можна вишикувати групу з 10 дітей на уроці фізкультури?

  3. Скількома способами можна розставити 6 різних предметів на полиці?

  4. Скільки різних семицифрових чисел можна скласти з 7 різних цифр, серед яких немає нуля?

  5. Скільки різних семицифрових чисел можна скласти з 7 різних цифр, серед яких є нуль?

  6. Скількома різними способами можна посадити 12 осіб за круглий стіл, біля якого стоїть 12 стільців?

  7. Скільки різних музичних фраз можна скласти з 6 нот, якщо ноти в них не повторюватимуться?

  8. Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 2, 3, 4, 7, 9, щоб жодна з них у цих числах не повторювалась?

  9. Скільки сигналів можна подати п’ятьма різними прапорцями, піднімаючи їх у довільному порядку та кількості?

  10. Скількома способами можна вибрати з 15 осіб делегацію з 3 осіб?

  11. У чоловіка є 30 сорочок. Скількома способами він, їдучи у відрядження на робочий тиждень, може вибрати 6?

  12. Правління підприємства складається з 7 осіб. Скільки можна скласти варіантів обрання з їх числа трьох керівників – президента, директора та комерційного директора?

  13. Є два офіцери, три прапорщики і п’ять солдат. Скільком а способами можна вибрати наряд із одного офіцера, одного прапорщика і двох солдат?

  14. *У населеному пункті проживає 30000 мешканців. Довести, що принаймні двоє з них мають однакові ініціали.




    1. Завдання для підготовки до практичного заняття №4

        1. Законспектувати формули комбінаторики (у зошитах для практичних занять), підготуватися до аудиторної самостійної роботи.

        2. Розв’язати задачі №№3-5, 7, 9, 11, 13, 14*, 16 [3, с. 50-51].

Література

  1. Вагіна Н.С. Практикум з дисципліни «Математика». Частина 1 /Н.С. Вагіна. – Бердянськ, БДПУ, 2011. – С. 8 -11.

  2. Затула Н.І., Зуб А.М., Коберник Г.І., Нещадим А.Ф. Математика: Навчальний посібник. – К.: Кондор, 2006. – С. 42-52.

  3. Курс математики: Навчальний посібник /В.Н. Боровик, Л.М. Вивальнюк та ін.. – К.: Вища школа, 1995. – С. 87-108.

  4. Математичний сайт: задачі з різних розділів математики. Комбінаторика___Практичне_заняття_№4___Тема_:_Комбінаторні_задачі__План_заняття'>Комбінаторика. – [Електронний ресурс]. - Режим доступу http://zadachi.in.ua/index.php?kat=3&language=ua uk.wikipedia.orgwiki/Комбінаторика


Практичне заняття №4

Тема: Комбінаторні задачі

План заняття

  1. Аудиторна самостійна робота з теми «Комбінаторні задачі».

  2. Обговорення результатів самостійної роботи, корекція помилок.

  3. Постановка завдань та рекомендації щодо самопідготовки студентів до практичного заняття №5.




  1. Орієнтовний перелік задач для самостійного розв’язування на занятті

  1. Скільки різних двозначних чисел можна записати, використовуючи цифри 3, 4, 5 і 6? Скільки різних двозначних чисел можна записати, використовуючи при записі числа кожну з вказаних цифр тільки один раз? Запишіть ці числа.

  2. Скільки різних чотиризначних чисел можна скласти, використовуючи для запису цифри 1, 2, 3 і 4? Якою є різниця між найбільшим і найменшим з них?

  3. Комісія складається з голови, його заступника і ще п'яти чоловік. Скількома способами члени комісії можуть розподілити між собою обов'язки голови і заступника?

  4. Шість ящиків різних матеріалів доставляють на п'ять поверхів будівництва. Скількома способами можна розподілити матеріали по поверхах? У скількох варіантах на п'ятий поверх буде доставлений якій-небудь один матеріал?

  5. Скількома способами можна розмістити 5 однакових куль по трьох ящиках?

  6. Скільки тризначних чисел можна скласти з трьох різних, не рівних нулю цифр? Чи залежить результат від того, які цифри узяті?

  7. З цифр 0, 1, 2, 3, 4 складають всілякі п'ятизначні числа, причому так, що в записі кожного числа міститися всі дані цифри. Скільки можна скласти таких чисел? Чому буде рівна різниця між найменшим і найбільшим з одержаних чисел?

  8. Скільки тризначних чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?

  9. У потяг метро на початковій зупинці увійшли 100 пасажирів. Скількома способами можуть вийти всі пасажири на подальших 16 зупинках потягу?

  10. Скількома способами можна розподілити 5 учнів по трьох паралельних класах?

  11. Двадцять вісім кісток доміно розподілені між чотирма гравцями. Визначте кількість можливих різних варіантів розподілів.




  1. Завдання для самопідготовки до практичного заняття №5




  1. Повторити теоретичний матеріал з тем «Логіка висловлень», «Логіка предикатів» [4, С.56-79]

  2. Розв’язати нижченаведені задачі.

  1. *Команда з «Клубу знавців» у складі 6 осіб займає місця за круглим столом. Скільки є можливих варіантів розміщення гравців? Скільки таких варіантів у випадку, коли два члени команди повинні сісти поруч?

  2. Обчислити: а) ; б) ; в) .

  3. *Обчислити п, якщо .


Література

  1. Вагіна Н.С. Практикум з дисципліни «Математика». Частина 1 /Н.С. Вагіна. – Бердянськ, БДПУ, 2011. – С. 8 -11.

  2. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969.

  3. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. – М.: Наука, 1075.

  4. Затула Н.І., Зуб А.М., Коберник Г.І., Нещадим А.Ф. Математика: Навчальний посібник. – К.: Кондор, 2006. – С. 42-52.

  5. Курс математики: Навчальний посібник /В.Н. Боровик, Л.М. Вивальнюк та ін.. – К.: Вища школа, 1995. – С. 87-108.

  6. Математичний сайт: задачі з різних розділів математики. Комбінаторика. – [Електронний ресурс]. - Режим доступу http://zadachi.in.ua/index.php?kat=3&language=ua uk.wikipedia.orgwiki/Комбінаторика


Практичне заняття №5

Тема: Висловлення, предикати та операції над ними

План заняття

  1. Перевірка теоретичних знань, задач для самостійного розв’язування.

  2. Розв’язування тренувальних вправ.

  3. Підбиття підсумків заняття, постановка завдань для самопідготовки до практичного заняття №6.




  1. Перевірка теоретичних знань з теми «Логіка висловлень»:

  1. Сформулювати означення висловлення, навести приклади і контрприклади.

  2. Сформулювати означення логічної операції над висловленнями.

  3. Охарактеризувати види операцій над висловленнями, користуючись таблицями істинності:
































1

0


0

1


0

0

1



1

0

1

0



1

0

1

1



1

0

0

1



1

0

1

0



1

0

0

0



1

0

0

1



1

0

1

0



1

1

1

0



1

0

0

1



1

0

1

0



1

1

0

0



1




  1. Зразки тренувальних вправ з теми «Логіка висловлень»:

  1. Встановити, які з наведених речень є висловленнями:

1) 8 – ціле число; 2) 169 ділиться на 9 або на 4;

3) х2 ≥ 0; 4) Чи існують рівнокутні трикутники?



5) Існують рівносторонні трикутники; 6) Закрийте зошити! 7) 5 ≥ 5.

  1. Встановити логічну структуру висловлення: 12 ділиться на 3 і 2 тоді і тільки тоді, коли 12 ділиться на 6.

  2. Встановити логічну структуру висловлення: Неправильно, що 5 не менше 7.

  3. Встановити логічну структуру висловлення: Всі натуральні числа додатні.

  4. Встановити логічну структуру висловлення: Всі цілі числа невід’ємні.

  5. Знайти логічне значення висловлення: Всі натуральні числа додатні.

  6. Знайти логічне значення висловлення: Всі цілі числа невід’ємні.

  7. Знайти логічне значення висловлень: а) 12 ділиться на 3 і 2 тоді і тільки тоді, коли 12 ділиться на 6;

б) неправильно, що 5 не менше 7.

  1. Перевірити на рівносильність формули і , заповнивши таблицю (для , , ):














0




0







0




1







1




0







1




1








3. Контрольні запитання з теми «Логіка предикатів»

  1. Що розуміють у математиці під змінною? Значеннями змінної, її областю визначення?

  2. Яке твердження називається предикатом?

  3. Як називаються змінні, що входять до предикату?

  4. Сформулюйте означення одномісного, двомісного, п-місного предикату.

  5. Як означити області істинності (або хибності) предикату? Приклади.

  6. Які предикати називаються тотожно істинними, тотожно хибними, рівносильними (на множині М)?

  7. Які операції виконуються над предикатами? Наведіть приклад, який розкриває аналогії між певними операціями над предикатами та системами і сукупностями рівнянь та нерівностей.

  8. Які символи називаються кванторами, назвіть їх різновиди та охарактеризуйте відповідні операції. Від якого латинського слова походить термін "квантор"?

  9. У чому полягає операція навішування квантора загальності, квантора існування?

Зразки тренувальних вправ

  1. Серед наведених речень виділити одномісні та двомісні предикати: а) х + у =56; б) х2 < 4; в) ху;

г) 3х3 4х = 0.

  1. Дано предикат Р(х) – «х<3», х. Знайти області істинності і хибності цього предиката.

  2. Дано предикат Q(х) – «y2», y. Знайти характеристичну множину цього предиката.

  3. Дано предикат Q(х) – «y4», y. Знайти області істинності і хибності цього предиката.

  4. Сформулюйте українською мовою такий символічний запис: ,

де  «х – ціле число», «х – додатне число», п(х): «х – натуральне число».

  1. Знайдіть області визначення предикатів: а) ; б) .

  2. З предикатів , , , , визначених на множині R, утворити за допомогою кванторів і усі можливі висловлення і визначити їхня значення істинності.

  3. Записати мовою логіки предикатів з використанням кванторів:

а) різниці двох натуральних чисел; б) частки двох натуральних чисел.

9. Записати за допомогою символіки логіки предикатів:

а) «Будь-яке х буде складеним тоді і тільки тоді, коли існують числа у, z менші від х і такі, що »;

б) «Кожні дві прямі, які знаходяться в одній площині і перпендикулярні до третьої прямої, паралельні між собою».

в) «Для будь-яких дійсних чисел х і у число х менше від у тоді і тільки тоді, коли існує число таке, що ».


  1. Завдання для самопідготовки до практичного заняття №6

  1. Повторити матеріал тем: «Міркування і умовиводи», «Логічні задачі»

2. Розв’язати задачі: №№ 4-8, 13-15, 20(б) [2, С. 81-83].
Література

  1. Вагіна Н.С. Практикум з дисципліни «Математика». Частина 1 /Н.С. Вагіна. – Бердянськ, БДПУ, 2011. – С. 12 -16.

  2. Курс математики: Навчальний посібник для педвузів /В.Н. Боровик, Л.М. Вивальнюк та ін.. – К.: Вища школа, 1995. – 392 с.

  3. Кухар В.М., Тадіян С.І., Тадіян В.П. Математика. Множини. Логіка. Цілі числа: Практикум /Кухар В.М., Тадіян С.І., Тадіян В.П. – К.: Вища школа. Головне видавництво, 1989. – 333 с.

  4. Лаврова Н.Н., Стойлова Л.П. Задачник-практикум по математике: Учебное пособие для студентов-заочников І-ІІІ курсов факультетов педагогіки и методики начального обучения пед. институтов. – М.: Просвещение, 1985. – 183 с.

  5. Математика: Навчальний посібник для педвузів / Затула Н.І., Зуб А.М., Коберник Г.І., Нещадим А.Ф. – К.: Кондор, 2006. – 560 с.


Практичне заняття №6

Тема: Логічні задачі

План заняття

  1. Тестовий експрес-контроль

  2. Розв’язування логічних задач

  3. Підбиття підсумків заняття, постановка завдань для самопідготовки до практичного заняття №8.

  1. Типові завдання експрес-контролю для перевірки теоретичних знань див. [1, 17-22]

  2. Задачі для розв’язування на занятті (з поясненням логічних основ):

  1. Три однокласники відвідують різні гуртки: хоровий, танцювальний та драматичний. На питання, хто який гурток відвідує, вони відповіли:

Андрій: Я – танцювальний;

Василь: Я – не танцювальний;

Сергій: Я – не хоровий.

Який гурток відвідує кожен із хлопчиків, якщо відомо, що тільки один із них сказав правду?



  1. Троє сусідів – Авраменко, Борисенко і Власенко – вирішили спільними зусиллями побудувати колодязь, розподіливши всі витрати між собою порівну. Авраменко купив 6 мішків цементу, а Власенко – 5 таких мішків. Більше потреби у цементі не було, тому Борисенко свою частку витрат у розмірі 22 гривні вніс грошима. Як розподілити ці гроші між Авраменком і Власенком?

  2. Андрій та Федір обмінюються грошима з колекції однієї країни. Спочатку Андрій віддав частину своїх грошей Федору, потім Федір – Андрію, потім знову Андрій – Федору і нарешті Федір віддав Андрію гроші востаннє. Після цього у кожного стало по 160 грошових одиниць. Кількість грошей, яка передавалася щоразу, дорівнювала кількості грошей у того, хто її отримував. Скільки грошей було у Андрія та Федора спочатку?

  1. Завдання для самопідготовки до практичного заняття №7

1. Розв’язати задачі

  1. У трьох купках є відповідно 11, 7 і 6 зошитів. Потрібно за допомогою трьох перекладань зрівняти кількість зошитів у кожній купці, причому дозволяється перекладати в купку стільки зошитів, скільки в ній є. Як це зробити?

  2. Андрієнко, Коваленко і Василенко живуть в одному місті. Один із них працює муляром, другий – теслею, а третій – слюсарем. Одного разу муляр прийшов до теслі, щоб він допоміг йому замінити вікно у його квартирі, але йому сказали, що той допомагає Коваленку ремонтувати двері. Визначити фах кожного, якщо відомо, що слюсар ніколи не бачив Василенка.

  3. Антоненко, Вороненко, Донченко та Ігнатенко за фахом художник, письменник, співак і режисер. Антоненко і художник були у театрі саме тоді, коли співак брав участь у концерті. Вороненко і письменник разом відвідали художника. Письменник написав біографічну повість про Ігнатенка і збирається написати про Антоненка. Встановити прізвища художника, письменника, співака та режисера.

  4. Василь, Микола, Петро і Степан – учні 4, 5, 6 та 7-го класів – пішли по гриби. Шестикласник не знайшов жодного білого гриба, проте Петро і учень 4-го класу – по вісім грибів. Василь і п’ятикласник знайшли багато підосичників і гукнули Миколу до гурту. Семикласник, шестикласник і Микола сміялися зі Степана, який зірвав мухомор. Хто з дітей в якому класі навчається?

  5. ** Три випускника одного університету – Іван, Дмитро і Степан – викладають різні предмети (хімію, біологію, фізику) в школах Харкова, Севастополя і Києва. Відомо, що: 1) Іван працює не в Харкові, а Дмитро – не в Севастополі; 2) харків’янин викладає не фізику; 3) той, хто працює в Севастополі, викладає хімію; 4) Дмитро викладає не біологію. Який предмет і в якому місті викладає кожний?

2. Підготуватися до контрольної роботи з модуля 1, див. [1, 23 - 29].
Література:

  1. Вагіна Н.С. Практикум з дисципліни «Математика». Частина 1 /Н.С. Вагіна. – Бердянськ, БДПУ, 2011. – С. 17 - 22.

  2. Математика: Навчальний посібник для педвузів / Затула Н.І., Зуб А.М., Коберник Г.І., Нещадим А.Ф. – К.: Кондор, 2006. – С. 138-141.



Практичне заняття №7

Контрольна робота з тем 1-6


Практичне заняття №8



Поділіться з Вашими друзьями:
  1   2   3

Схожі:

Елементи теорії множин. Операції над множинами iconЕлементи теорії множин. Операції над множинами
Постановка завдань та рекомендації щодо самопідготовки студентів до практичного заняття №2
Елементи теорії множин. Операції над множинами iconСлайд І. Патріарх української літератури
Бог: "Створімо людину за образом Нашим, за подобою Нашою, І хай панують над морською рибою, І над птаством небесним, І над худобою,...
Елементи теорії множин. Операції над множинами iconПро допомогу учасникам антитерористичної операції та діяльність Центру допомоги учасникам ато в Чернігівській області
В області продовжується робота щодо виконання Указу Президента України від 18 березня 2015 року №150 «Про додаткові заходи щодо соціального...
Елементи теорії множин. Операції над множинами iconПринцип відносності Ейнштейна Біографія Альберта Ейнштейна
Видатний фізик, творець теорії відносності, один із творців квантової теорії І статистичної фізики
Елементи теорії множин. Операції над множинами iconМножина. Переріз множин
Вороненко, Петренко, Любаренко та Соменко – талановиті юнаки. Один із них танцюрист, другий – художник, третій – співак, четвертий...
Елементи теорії множин. Операції над множинами iconПолітичні еліти І лідерство Класичні теорії елітаризму (В. Паретто, Г. Моска, Р. Міхельс). Поняття еліти, його генеза. Сучасні теорії еліти
Класичні теорії елітаризму (В. Паретто, Г. Моска, Р. Міхельс). Поняття еліти, його генеза. Сучасні теорії еліти
Елементи теорії множин. Операції над множинами iconФізичні основи теорії відносності
Особливу увагу звернуто на принцип відносності в електродинаміці. Показано, що незвичні ефекти теорії відносності логічно витікають...
Елементи теорії множин. Операції над множинами iconОсновні функції економічної теорії: Основні функції економічної теорії
Дави́д Ріка́рдо (18 квітня 1772, Лондон †11 вересня 1823), англійський економіст, класик політичної економії, послідовник І одночасно...
Елементи теорії множин. Операції над множинами iconГеоргій Феодосійович Вороний (1868-1908)
Хіх-хх століть, Г. Ф. Вороний за своє життя встиг надрукувати всього дванадцять статей. Але яких! Вони дали поштовх для розвитку...
Елементи теорії множин. Операції над множинами iconУроку.«А лебеді летять…над моїм дитинством…над моїм життям!» «Гуси-лебеді летять…»
Тема уроку.«А лебеді летять…над моїм дитинством…над моїм життям!»«Гуси-лебеді летять…» Михайла Стельмаха автобіографічна повість...


База даних захищена авторським правом ©biog.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка