Математичні мозаїки



Скачати 58.86 Kb.
Дата конвертації12.03.2018
Розмір58.86 Kb.

Математичні мозаїки
Симетрія – в широкому чи вузькому розумінні залежно від того, як ви визначаєте зміст цього поняття, - є тією ідеєю, за допомогою якої людина протягом століття намагалася збагнути і створити порядок, красу, й досконалість.

Г. Вейль

В повсякденному житті ми маємо відношення з симетрією, інтуїтивно знаходимо її, відчуваємо при цьому часто свідоме, або несвідоме естетичне насолодження. Однак, якщо нас запитують, що таке симетрія, то ми вагаємось дати чітку відповідь.

Багатогранний прояв симетрії ми зустрічаємо в різноманітті природи, в побудові тіл тварин і рослин. Якщо говорити про створення людських рук, то неможна уявити архітектуру, образотворче мистецтво. Дуже широко симетрія зустрічається в орнаментах різного роду, тобто в українських узорах для яких характерна ритмічна побудова елементів.

Малюнок орнаменту лежить в площині, тому до нього застосовують закон двохмірної орнаментальної симетрії. До якої входять інші види симетрії: переносна, поворотна, дзеркальна. 6853191_001_1

Ейлер (1707 – 1783) – голландський художник, математик, є автором орнаменту складеного із зображення ящірок. Малюнок приваблює і викликає бажання розібратись в його побудові. Чим же він вражає? Мозаїка складається з однакових ящірок, фігур з точки зору геометрії неправильних, але не дивлячись на це вони щільно укладаються на поверхні, не утворюючи при цьому проміжків(пустот), не накладаються одна на одну.

Створення мозаїк із однакових, але осмислених фігур справа нелегка. Відомо лише три види правильних мозаїк. Це мозаїки із рівносторонніх трикутників, квадратів або шестикутників.

Ящірки підлягають законам орнаментальної симетрії. В основі узору лежить решітка, вузли якої представляють собою кратність шість або кратність два. При повороті зображення навколо полюса кратності шість на кут 60 градусів, також як і при повороті полюса кратності два, на кут 180 градусів, зображення суміщається саме з собою. Це справедливо, якщо не приймати до уваги різні кольори ящірок. Шляхом переносу будь якого вузла решітки в наступний вузол, малюнок може продовжуватись до нескінченності.
«Щоб пізнати не видиме, дивись уважно на видиме» – сказано в одній стародавній книзі. По суті ми живемо серед мозаїк. Цегельна кладка будинків, паркет в них, стіни в ванній кімнаті, – це все вони: одні і ті ж фігури раз за разом повторюють самі себе. З точки зору швеї, математична мозаїка – це викройка без втрат. Мозаїчний узор – це мистецтво. Узори складені з однакових правильних многокутників - правильні математичні мозаїки.23669013_honeycomblizard_03

А які вони можуть бути? Правильна чотирикутна мозаїка, трикутна (рівносторонній трикутник заповнює собою всю площину), шестикутна – така мозаїка називається гексагональною – часто зустрічається в природі. Це бджолині соти.

Незважаючи на те, що мистецтво мозаїки таке давнє, як і сама історія людства, наука про мозаїки з до недавнього часу майже не розвивалась. Про високий рівень мистецтва в середні віки свідчать мозаїки багаточисленних мечетів і в інших спорудах мавританської архітектури. Одним із яскравих прикладів є іспанський палац – комплекс Альгамбра побудований 13 – 14 ст. 115_alhambra

Можна з певністю сказати, що саме відвідування Альгамбри надихнуло голландського художника Моріса Ешера на створення деяких із його відомих творів.




44470

Лебеді




memosai1

f_4a0ecee4a1485

Метаморфоза







angels_thumbnail

Вершники

Ангели




Ешер випробував безліч різних способів створення незвичайного виду плиток. Метод його став дуже простий після того, як художник виконав декілька робіт, і буквально приголомшив архітекторів та будівельників. Припустимо, у вас є набір червоних і чорних плиток. Можна викласти їх, наприклад, у формі шахової дошки, чергуючи червоні і чорні. У цьому випадку повторювальною одиницею був би блок з чотирьох квадратів: двох червоних і двох чорних. Стикуючи блоки один з другим можна створити полотно необмежених розмірів.

плитка эшераплитка эшераплитка эшера

Щоб зробити роботи цікавими, майстер часто приховував основний геометричний зразок, стикуючи різні форми і кольори. Коли дивишся на одну з таких мозаїк, здається, що кожна керамічна плитка виконана у вигляді риби. Здавалося б, нічого особливого: риби якимось чином з'єднані в багато разів повторювальних малюнків. Немає нічого простішого, ніж вийняти одну із загального малюнка. Проте зробити це не вдасться. І все через те, що повторювана одиниця зовсім не одна риба, а декілька. Ті, хто має різне забарвлення, вони і складають основний блок. Кожен із зразків - загадка, шарада. Неможливо вгадати, яка форма основи малюнка.

плитка эшераплитка эшераhttp://www.planetaplitki.ru/_images/dogsmce55.jpg

Перша спроба проаналізувати мозаїки з математичної точки зору була проведена великим астрономом Іоганном Кеплером (1571 – 1630). Після Кеплера майже до кінця 19 ст. в теорії мозаїки було зроблено дуже мало. Тому, можна вважати, що науці про мозаїки під якою ми розуміємо активне вивчення властивостей мозаїк, або розбиття площини нараховується більше ста років200px-rene_just_hauy

«Щоб пізнати невидиме, дивись уважно на видиме» – сказано в одній стародавній книзі. Свідомо чи підсвідомо цьому принципу слідували всі вченні яким поталановило закласти фундамент нового вчення – кристалографії.

Французький мінералог Рене Жюст Гаюі якось випадково випустив кристал відомого шпата. Підібравши шматки (кусочки), він побачив, що вони в точності повторюють форму того кристала який розбився. Заінтригований, він став один за одним розбивати кристали з своєї великої колекції, як пізніше писав біограф, «продовжуючись трудитись на цьому поприщі, став засновником кристалографії ». Але пройшли довгі десятиліття перш ніж майже одночасно Є.С. Федоров в Росії і А. Шенфліс в Німеччині, незалежно один від одного – один ішов геометричним шляхом, а другий використовував алгебраїчний препарат теорії груп – вивели всі можливі в просторі групи симетрії, які представляють собою всі різновидності кристалічних форм в природі.

«Всі мої роботи – це ігри, серйозні ігри», говорив про себе голландський художник Мауріц Корнеліс Ешер. «Я часто дивуюсь своїй манії створювати періодичні малюнки» – писав сам художник. І в дійсності, яким інстинктом можна пояснити плавний перехід від риби що пливе в темних глибинах моря до птаха, який летить в прозорій висоті. sky_and_water

Ця грав’юра побудована «на повторенні зробленого», « чому я одинокий в цій справі » – продовжує Ешер – Чому ніхто із моїх колег художників не цікавиться фігурами які входять одна в одну? Але ж фігури підкоряються деяким об’єктивним законам, які кожний художник міг би використовувати в своїй роботі! Свій перший рисунок такого плану Ешер зробив в 1922 р. Він представляє собою з’єднання восьми різних людських голів. 8_heads

Художник намалював біля півтори сотні картин такого типу. Він не міг стримуватися від задоволення повторювати на бумазі одні й ті ж форми без зазору між ними. Багато років пізніше Ешер вперше познайомився з кристалографічними теоріями таким шляхом встановив контакт між математикою і своєю творчістю.

Мауріц Корнеліс Ешер, опираючись лише на свою художню інтуїцію без всякої математики поразив світ

Наприклад, зачаровують нас знамениті мотиви з вершниками, завдяки тому, що фігури на них або білі або сірі – в залежності від того, скачуть вони з ліва на право або з права на ліво.m-escher03

Праця академія Олексія Васильовича Шубникова «Симмертия и асимметрия конечных фигур» відмітила, що до геометричних операцій симетрії – переносу, повороту, дзеркальне відображення – приєднана ще і операція «зміни кольору». Поняття чорно – білої симетрії, або антисиметрії, досить вдало демонструється гравюрою Ешера «День і Ніч».

Якщо знехтувати кольорами і всі темні кольори об’єднати в один чорний, а всі світлі в один білий то ми одержимо всі відомі сорок шість чорно-білих, тобто двохкольорових мозаїк.



2188_02

Поділіться з Вашими друзьями:

Схожі:

Математичні мозаїки iconСклад спеціалізованих вчених рад фізико-математичні науки

Математичні мозаїки iconЯ. І. Жива математика [Текст]: математичні розповіді та головоломки / Я. І. Перельман. К.: Видавнича група км-букс, 2016. 176 с.: іл. Книга
Перельман, Я. І. Жива математика [Текст]: математичні розповіді та головоломки / Я. І. Перельман. – К.: Видавнича група км-букс,...
Математичні мозаїки iconЧи знаєте ви, що Наполеон Бонапарт писав математичні роботи І один геометричний факт називається «Задача Наполеона»?

Математичні мозаїки iconМатематичні цікавинки
Хтось вважає математику нудною, хтось — нецікавою, але ми з Тобою, друже, знаємо, що в цій науці вирують справжні пристрасті! А що...
Математичні мозаїки iconСписок здобувачів наукового ступеня кандидата наук Фізико-математичні науки Головна астрономічна обсерваторія нан україни д 26. 208. 01 Андрієць Олена Сергіївна, 01. 03. 03 «Геліофізика І фізика Сонячної системи»
Степанчиков Дмитро Михайлович, 01. 04. 10 «Фізика напівпровідників І діелектриків»
Математичні мозаїки iconЛогічні Блоки Золтона Дьєниша біографія Золтона Дьєниша
Суть методики заключається в тім, що математичні знання діти отримують не вирішуючи багато численних прикладів в зошитах, читаючи...
Математичні мозаїки iconВ. І. Вернадського, що пропонуються для книгообміну / V. Vernadsky National Library of Ukraine publications offered for book exchange в фізико-математичні науки
А. П. Александров та українська наука = А. П. Александров и украинская наука : до 110-річчя від дня народж вчен. / Нан україни, Нац...
Математичні мозаїки iconТворчість Лесі Українки (поезії «Як дитиною, бувало», «Мрії», «Тиша морська») через призму математики
Відомості про життя та творчість великої української письменниці Лесі Українки ви будете виконувати математичні дії. Як людина І...


База даних захищена авторським правом ©biog.in.ua 2017
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка