Особливості вивчення основ терії ймовірностей у 6-му класі за новим державним стандартом



Скачати 152.48 Kb.
Дата конвертації23.12.2017
Розмір152.48 Kb.

УДК 371.315:371.32+51

О. М. Задоріна,

канд. пед. наук, старший викладач кафедри методики викладання природничо-математичних дисциплін



особливості вивчення основ терії ймовірностей у 6-му класі за новим державним стандартом

Ключові слова: методика навчання математики, індивідуальне навчання, випробування і події; неможливі, достовірні та випадкові події, спільні і несумісні, рівноможливі і нерівноможливі, протилежні, незалежні події, експеримент, класичне визначення ймовірності.

Логічним наслідком вивчення основ комбінаторики у 5-му класі є продовження ймовірнісно-стохастичної лінії, а саме — вивчення основ теорії ймовірностей у 6-му класі. Не зважаючи на значну кількість критики щодо необхідності перенесення цього розділу на більш пізній термін, укладачі програми з математики вважають, що вивчення основ теорії ймовірностей доцільно здійснювати саме у цей період шкільного віку, і це не випадково, оскільки даний розділ елективного курсу являє собою надзвичайно яскраву, цікаву і своєрідну частину математики.

Вивчення матеріалу супроводжується розглядом різноманітних ігрових і життєвих прикладів з непередбачуваним неоднозначним результатом. Однак слід зауважити, що розгляд випадкових подій, деякі труднощі психологічного характеру, які виникають через незвичність об’єктів вивчення, роблять курс досить непростим для засвоєння.

Основні питання, що розглядаються під час вивчення теорії ймовірностей.

 Випробування і події.

 Неможливі, достовірні та випадкові події.

 Види випадкових подій (спільні і несумісні, рівноможливі і нерівноможливі, протилежні, незалежні), дії над випадковими подіями (сума, добуток). Повна група.

 Експерименти та його результати.

 Класичне визначення ймовірності.

Розглянемо деякі особливості вивчення кожного з цих питань окремо.



Предмет теорії ймовірностей. Події.

На першому занятті слід розповісти учням про виникнення теорії ймовірності, про вчених, які стоять біля її витоків. Учні можуть підготувати доповіді з біографії згаданих вчених, теми доповіді розподіляються заздалегідь.

У повсякденному житті, даючи будь-які прогнози, ми нерідко вживаємо висловлювання «ймовірно», «мабуть». Наприклад, ми говоримо: «Ймовірно, сьогодні ввечері буде дощ», причому ми розуміємо, в яких подіях «мало» ймовірності, а в яких — «багато».

Французький натураліст Ж. Л. Л. Бюффон у XVIII столітті підкидав монету 4040 раз — герб випав 2048 разів. Математик К. Пірсон на початку ХIХ століття підкидав її 24 000 раз — герб випав 12012 разів. У 70-х рр. XX століття американські натуралісти повторили дослід. При 10 000 підкиданнях герб випав 4979 разів. Отже, результати підкидання монети, хоча кожне з них і є випадковою подією, при неодноразовому пов­торенні підвладні об’єктивному закону.

Теорія ймовірностей і вивчає закономірності, які управляють масовими випадковими подіями.

З випадковими подіями (або явищами), тобто з такими, які можуть або відбутися, або не відбутися в результаті якогось випробування, ми зустрічаємося в житті дуже часто.

Учень витягує білет — це випробування. Поява при цьому білета № 13 — випадкова подія, білета № 5 — інша випадкова подія. Вибір навмання будь-якої сторінки в книзі — це випробування. Те, що першою літерою на цій сторінці виявиться літера «м» — це випадкова подія.

Наприклад, розглянемо наступні події:






Умова


Результат


А1


При нагріванні дроту


його довжина збільшиться


А2


При киданні гральної кістки


випадуть 4 очки


А3


При киданні монети


випаде герб


А4


При огляді поштової скриньки


знайдено три листа


А5


При низькій температурі


вода перетвориться на лід


Події А1, А5 відбудуться закономірно, А2, А3, А4 — випадкові.

Подія, що в даному випробуванні неминуче настане, називається достовірною, а подія, яка в даному випробуванні ніколи не з’явиться — неможливою.

Які з наступних подій достовірні:


А


Два влучення при трьох пострілах


+


В


Виплата гривні сім’ю монетами


+


С


Навмання вибране випадкове число не більше 1000


+


D


Навмання вибране число, складене з цифр 1, 2, 3 без повторень, менше 400


+


E


Випадання семи очок при киданні гральної кістки





F


Отримання 12 балів на іспиті


+


Назвіть неможливі події:

А


Вода в річці замерзла при температурі +25 °С


+


В


Поява слова «мама» при випадковому наборі букв м, м, а, а


-


С


Поява відразу трьох лайнерів над аеропортом


+


D


Складання тризначного числа, що складається з цифр 1, 2, 3 і кратного 5


+


E


Поява 17 очок при киданні трьох гральних кісток





Вправи

Для кожної з цих подій визначити, яка вона є: неможливою, достовірною або випадковою.



1. З 26 учнів класу двоє відзначають свій день народження:

1) 25 січня;

2) 31 червня.

2. Випадковим чином відкривається художній твір і знаходиться друге слово на лівій сторінці. Це слово починається:

1) з літери М,

2) з літери видання.

3. Зі списку журналу 6 го класу (в якому є і хлопчики, і дівчатка) випадковим чином обраний учень:

1) це хлопчик,

2) обраний учень, якому 12 років,

3) обраному учневі 12 місяців;

4) цьому учневі більше двох років.

4. Сьогодні в Одесі барометр показує нормальний атмосферний тиск. При цьому:

1) вода в каструлі закипить при температурі 70°С;

2) коли температура впала до –3°С, вода в калюжі замерзла.

5. У нашій школі навчаються 758 учнів. Подія А={в школі є учні, у яких співпадають дні народження} є випадковим чи достовірним? З’ясуйте, чи відбулася ця подія у вашому класі?

6. Серед 150 квитків шкільної благодійної лотереї 30 виграшних. Скільки квитків треба купити, щоб подія А={ви нічого не виграєте} була неможливою?

7. У 6 «Г» класі навчається 16 хлопчиків і 10 дівчаток. Які з наступних подій є неможливими, які випадковими, які — достовірними:

А = {в класі є дві людини, що народилися в різні місяці};

В = {в класі є дві людини, що народилися в одному місяці};

С = {в класі є два хлопчики, які народилися в одному місяці};

D = {в класі є дві дівчинки, що народилися в одному місяці};

Е = {всі хлопчики народилися в різні місяці};

F = {всі дівчинки народилися в різні місяці};

К = {є хлопчик і дівчинка, що народилися в одному місяці};

М = {є хлопчик і дівчинка, що народилися в різні місяці}.

8. Біля школи зупиняються автобуси трьох маршрутів, які йдуть у бік моря: № 5, № 13 і № 23. Інтервал у русі автобусів кожного маршруту коливається від 8 до 10 хвилин. Коли Саша, Маша, Христина та Катя підійшли до зупинки, від неї відійшов автобус № 13, а ще через 6 хвилин підійшов автобус № 5. Після цього кожен з хлопців висловив свою думку про те, автобус якого маршруту буде наступним:

Саша: Наступним обов’язково буде № 23.

Маша: Можливо, що наступним буде № 23.

Христина: Можливо, що наступним буде № 13.

Катя: Неможливо, що наступним буде № 5.

З ким із хлопців ви згодні, а з ким ні? Поясніть зроблений вибір.



9. На шлях від дому до школи Михайло витрачає від 10 до 15 хвилин, якщо йде пішки, і від 2 до 3 хвилин, якщо їде на автобусі. При якому інтервалі руху автобусів подія А = {по дорозі до школи Михайлика обжене хоча б один автобус} буде неможливим, при якому — випадковим, при якому — достовірним?

Після знайомства з поняттям «випадкова подія» учні повинні вміти наводити приклади таких подій з життя і відрізняти їх від невипадкових.



Види випадкових подій

Події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу інших подій в одному і тому ж випробуванні. В іншому випадку події називаються сумісними.

Наприклад, події «пішов дощ» і «настав ранок» є спільними, а події «настав ранок» і «настала ніч» — несумісними.

Завдання:

1. Визначте спільні і несумісні події у зіграній Катею і Ларисою партії в шахи, якщо:

1) Катя виграла, Лариса програла,

2) Катя програла, Лариса програла.

2. З наступних подій:

1) «йде дощ»,

2) «на небі немає ні хмаринки»;

3) «настало літо»

– скласти різні пари і виявити серед них пари спільних і пари несумісних подій.

3. З наступних подій:

1) «настав ранок»,

2) «сьогодні за розкладом 6 уроків»;

3) «сьогодні 1 січня»,

4) «температура повітря в Одесі +30°С»

– скласти різні пари і виявити серед них пари спільних і пари несумісних подій.

Події називають рівноможливими, якщо є підстави вважати, що жодна з них не є більш можливою, ніж інша.

Наприклад, «випадання герба» і «випадання цифри» при киданні монети — рівноможливі події. «Вилучення з набору доміно дубля» і «вилучення з набору доміно кісточки з різними очками» — нерівноможливі події, тому що дублів у наборі доміно всього 7, а кісточок — 21.

Кілька подій утворюють повну групу, якщо в результаті випробування з’явиться хоча б одна з них. Наприклад, влучення і промах при пострілі; поява 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок при киданні гральної кістки.

Якщо дві єдино можливі події утворюють пов­ну групу, то їх називають протилежними (виграш і програш, влучення і промах). Якщо одна з двох протилежних подій позначена через А, то іншу прийнято позначати Ā.



Завдання:

1. Нижче приведені різні події. Вкажіть протилежні їм події.

а) Мою нову сусідку по парті звуть або Таня, або Аня.

б) З п’яти пострілів у ціль потрапили хоча б два.

в) На контрольній роботі я не розв’язав, як мінімум, три завдання з п’яти.



2. Назвіть подію, для якої протилежною є така подія:

а) на контрольній роботі більше половини класу отримали п’ятірки;

б) у тирі всі сім кульок потрапили повз цілі;

в) у нашому класі всі розумні і красиві;

г) в гаманці у мене є три гривні однією купюрою, чи три долари одним папірцем.

Розглядаючи події як множини, можна визначити дії над подіями (введення понять суми і добутку подій дозволяє підготувати дії над ймовірностями).



a) Об’єднання подій або сума подій — AUB або А+В — подія, що містить всі елементи А і В.

Приклад 1. Випробування: кидаємо гральну кістку.

Подія А: випало парне число очок.

Подія B: випало число очок менше, ніж 4.

Подія A + B: випало 1, 2, 3, 4 або 6 очок.

Приклад 2.

Подія А: коло.

Подія B: квадрат.

Подія A + B: заштриховано.


b) Перетин подій або добуток подій — A∩B або АВ — подія, що містить лише загальні елементи А і В.



Приклад 3. Випробування: кидаємо гральну кістку.

Подія А: випало парне число очок.

Подія B: випало число очок менше, ніж 4.

Подія AB: випало 2 очка.


Приклад 4.

Подія А: коло.

Подія B: квадрат.

Подія AB: заштриховано.

Якими є події C, D, E?





Завдання:

1. Подія А — «потрапляння у мішень першим пострілом», подія В — «потрапляння у мішень другим пострілом». У чому полягає подія А + В?

2. Подія А — «учень навчається без трійок», подія В — «учень навчається без двійок», подія С — «учень не відмінник». Сформулюйте: А + В + С.

3. Подія А — «лотерейний виграш 10 грн», подія В — «лотерейний виграш 20 грн», подія С — «лотерейний виграш 30 грн», подія D — «лотерейний виграш 40 грн». У чому полягає подія А + В + С + D?

4. Подія А — «поява непарного числа очок при киданні гральної кістки», подія В — «поява 3 очок при киданні гральної кістки», подія С — «поява 5 очок при киданні гральної кістки». У чому полягають події АВС, АВ, АС, ВС?

5. Проводяться дві лотереї. Якщо подія А1 — «виграш за квитком першої лотереї» та подія А2 — «виграш за квитком другої лотереї», що означають події: А1А2 + Ā1А2, А1Ā2 + Ā1А2 + А1А2?

6. Відомо, що події А і В сталися, а подія С не настала. Визначте, чи наступили такі події: А + ВС, (А + В)С, АВ + С, АВС.

7. Турист із пункту А до пункту В може потрапити двома шляхами. позначимо події: А1 — «він пішов першою дорогою», А2 — «він пішов другою дорогою».

З пункту В до пункту С ведуть три дороги. Позначимо події: В1 — «він пішов першою дорогою», В2 — «він пішов другою дорогою», В3 — «він пішов третьою дорогою».

Застосовуючи поняття суми і добутку, а також протилежної події, побудуйте події, що складаються в тому, що:

– Від А до В він обрав дорогу навмання, а від В до С пішов третьою дорогою;

– Від А до В він пішов першою дорогою, а від В до С — дорогою, обраною навмання;

– Від А до В він пішов не першою дорогою, а від В до С — не третьою;

– Він дійшов від А до С.

Експерименти та їх результати

Перший крок на шляху до ознайомлення учнів з поняттям ймовірність полягає в тривалому експериментуванні, тобто в численних маніпуляціях з різноманітними предметами (гральними кістками, вовчками, монетами, кульками та іншими).

Для здійснення експериментів учнів краще розділити на групи по 2–3 дитини, одна з яких буде фіксувати результати експерименту, а інші його проводити.

Можна запропонувати такі завдання-експерименти:



Завдання № 1. 100 разів підкинути монету і зафіксувати кількість випадань «герба» і «цифри».

Завдання № 2. 100 разів підкинути кнопку і зафіксувати кількість разів, коли кнопка впала вістрям вниз і кількість разів, коли кнопка впала вістрям вгору.

Завдання № 3. Виберіть який-небудь текст, що містить 150 слів. Підрахуйте кількість слів, складених з 6 букв.

Завдання № 4. Виберіть 7 рядків довільного тексту. Підрахуйте, скільки разів зустрічаються в тексті літери о, е, а, ю.

Завдання № 5. 100 разів підкинути гральну кістку і зафіксувати кількість випадань 6.

Після проведення експериментів доцільно ввести поняття «експеримент» і його результат. Чітке визначення та розмежування при проведенні реальних фізичних експериментів таких понять, як «результат експерименту» і «подія», у подальшому допоможе уникнути багатьох труднощів при введенні поняття «імовірність випадкової події».



Класичне визначення імовірності

Імовірність — одне з основних понять тео­рії імовірностей. Існує кілька визначень цього поняття. Наведемо визначення, яке називають класичним. Далі вкажемо слабкі сторони цього визначення і приведемо інші визначення, що дозволяють подолати недоліки класичного визначення.

Розглянемо приклад. Нехай в урні міститься 6 однакових, ретельно перемішаних куль, причому 2 з них — червоні, 3 — сині та 1 — біла. Очевидно, що можливість вий­няти навмання з урни кольорову кулю більша, ніж можливість отримати білу кулю. Чи можна охарактеризувати цю можливість числом? Виявляється, можна. Це число і називають імовірністю події. Таким чином, імовірністю є число, що характеризує ступінь можливості появи події.

Поставимо перед собою завдання дати кількісну оцінку можливості того, що взяті навмання кулі кольорові. Появу кольорової кулі будемо розглядати як подію А. Кожен з можливих результатів випробування (випробування полягає в добуванні кулі з урни) назвемо елементарним результатом (елементарною подією). Переконаємося, що ці результати утворюють повну групу попарно несумісних подій (обов’язково з’явиться тільки одна куля) і вони рівноможливі (кулю виймають навмання, кулі однакові і ретельно перемішані).

Ті елементарні результати, які нас цікавлять і настають, назвемо сприятливими цій події.

Необхідно пояснити учням різницю між подією і елементарною подією.

Відношення числа сприятливих події А елементарних фіналів до їх загального числа, називають імовірністю події А і позначають Р(А). У розглянутому прикладі всього елементарних фіналів 6; з них 5 сприяють події А. Отже, імовірність того, що взята куля виявиться кольоровою, дорівнює Р(А) = 5/6. Це число і дає ту кількісну оцінку ступеня можливості появи кольорової кулі, яку ми хотіли знайти. Дамо тепер визначення імовірності.



Імовірністю події А називають відношення числа сприятливих цій події результатів до загального числа всіх рівноможливих несумісних елементарних фіналів, що утворюють повну групу.

Р (А) = m/n,

де m — число елементарних результатів, що сприяють А; n — число всіх можливих елементарних результатів випробування.

З визначення імовірності випливають такі її властивості:

Властивість 1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Властивість 2. Імовірність неможливої події дорівнює нулю.

Властивість 3. Імовірність випадкової події є додатнє число, що знаходиться між нулем і одиницею.

Доведення даних властивостей може бути запропоновано учням в якості домашнього завдання.



Завдання:

1. Для новорічної лотереї віддрукували 1500 квитків, з яких 120 виграшних. Яка імовірність того, що куплений квиток виявиться виграшним?

2. Для іспиту підготували білети з номерами від 1 до 25. Яка імовірність того, що взятий навмання учнем білет має:

1) однозначний номер,

2) двозначний номер?

3. Учень при підготовці до іспиту не встиг вивчити один з тих 25 білетів, які будуть запропоновані на іспиті. Яка імовірність того, що учневі дістанеться на іспиті вивчений білет?

4. Женя купив 2 лотерейних квитка, і один з них виявився виграшним. Чи можна стверджувати, що імовірність виграшу дорівнює 1/2?

5. Для шкільного новорічного вечора надрукували 125 пронумерованих запрошень, між якими передбачається розіграти головний приз. Яка імовірність, що номер щасливчика буде закінчуватися:

а) на трійку,

б) на дев’ятку?

в) Вова отримав запрошення з номером 33, а Таня — 99.

Чи правда, що у Вови більше шансів отримати головний приз?

6. Двоє друзів живуть в одному будинку, а навчаються у різних класах. Уроки в школі закінчуються в інтервалі від 13 до 14 години. Після занять вони домовляються чекати один одного на автобусній зупинці протягом 20 хвилин. Скільки приблизно раз на рік їм вдається поїхати додому разом, якщо рік складає 200 навчальних днів?

Література

1. Бродський Я. С. Про імовірнісно-статистичну змістовну лінію у шкільному курсі математики / Я. С. Бродський, О. Л. Павлов // Математика в школі. — 2006. — № 7.

2. Бродський Я. С. Статистика, імовірність, комбінаторика у старшій школі / Я. С. Бродський, О. Л. Павлов. — Х. : Основа, 2008.

3. Бродський Я. С. Про вивчення елементів комбінаторики, імовірності, статистики в школі // Математика в школах України. — 2004. — № 35, 36.

4. Изучение теории вероятности и статистики в школьном курсе математики. Программа для курсов повышения квалификации учителей // Математика в школе. — 2003. — № 4.

5. Маневич Д. В. Теория вероятностей и статистика в школьном образовании : метод. пособие / Д. В. Маневич. — Ташкент : УКИТУВЧИ, 1989.

6. Глеман М. Вірогідність в іграх і розвагах. Елементи теорії імовірностей в курсі середньої школи : посіб. для вчителя : пер. з фр. / М. Глеман, Т. Варга. — М. : Просвещение, 1979.



    7. Слєпкань З. Методика вивчення елементів комбінаторики, початків теорії імовірності і вступу до статистики в загальноосвітніх навчальних закладах / З. Слєпкань, І. Соколовська. — К. : Шкільний світ, 2004.


Поділіться з Вашими друзьями:

Схожі:

Особливості вивчення основ терії ймовірностей у 6-му класі за новим державним стандартом iconУроківбіології в 6 класі за новим Державним стандартом базової і повної загальної середньої освіти
Чорнивідської загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів Городоцького району Хмельницької області
Особливості вивчення основ терії ймовірностей у 6-му класі за новим державним стандартом iconНавчально-методичний посібник «Особливості планування уроків історії для 5 класу за новим Державним стандартом»
Розділ виставки: шляхи реалізації Концепції розвитку освіти та впровадження нових державних стандартів
Особливості вивчення основ терії ймовірностей у 6-му класі за новим державним стандартом iconНа допомогу вчителеві української мови та літератури 5-х класів
Перший раз – у п’ятий клас за новим Державним стандартом базової та повної загальної середньої освіти. – Первомайськ, 2013. – 87...
Особливості вивчення основ терії ймовірностей у 6-му класі за новим державним стандартом iconМетодичні рекомендації „ матеріал для самостійного вивчення лекцій з історії І основ теорії побудови
Методичні рекомендації „матеріал для самостійного вивчення лекцій з історії І основ теорії побудови тренувального процесу по кіокушинкай...
Особливості вивчення основ терії ймовірностей у 6-му класі за новим державним стандартом iconОсобливості вивчення базових дисциплін у загальноосвітніх навчальних закладах
Особливості вивчення базових навчальних дисциплін у 2015/2016 навчальному році пов’язані, першою чергою, зі змінами, внесеними до...
Особливості вивчення основ терії ймовірностей у 6-му класі за новим державним стандартом icon11 класі смт. Рокитне 2010 Вивчення теми «Постмодернізм» на уроках зарубіжної літератури в 11 класі
Вивчення теми «Постмодернізм» на уроках зарубіжної літератури в 11 класі: На допомогу вчителю зарубіжної літератури/ укладач Е. А....
Особливості вивчення основ терії ймовірностей у 6-му класі за новим державним стандартом iconОсобливості вивчення базових дисциплін у загальноосвітніх навчальних закладах у 2016/2017 навчальному році
Особливості вивчення базових навчальних дисциплін у 2015/2016 навчальному році пов’язані, першою чергою, зі змінами, внесеними до...
Особливості вивчення основ терії ймовірностей у 6-му класі за новим державним стандартом iconОсобливості вивчення базових дисциплін у загальноосвітніх навчальних закладах у 2015/2016 навчальному році
Особливості вивчення базових навчальних дисциплін у 2015/2016 навчальному році пов’язані, першою чергою, зі змінами, внесеними до...


База даних захищена авторським правом ©biog.in.ua 2019
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка