Розділ І. Теоретичні відомості 1 Чотирикутник



Скачати 398.77 Kb.
Сторінка1/3
Дата конвертації09.10.2017
Розмір398.77 Kb.
  1   2   3


Тема 12

Чотирикутники

Розділ І. Теоретичні відомості

1.1 Чотирикутник


Чотирикутник — фігура, яка складається з чотирьох точок (жодні три з них не лежать на одній прямій) і чотирьох відрізків, які з'єднують послідовно ці точки і не перетинаються.

Рисунок 3

L

K

N

M

Рисунок 2

A

B

C

D

Рисунок

Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні перетинатися. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають, — сторонами чотирикутника. Вершини чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Несусідні вершини називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями. Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільної вершини, називаються протилежними сторонами. Периметр чотирикутника — сума довжин усіх його сторін. Чотирикутник називається опуклим, якщо він лежить в одній півплощині відносно будь-якої прямої, що містить його сторону. На рисунку 1 ABCD — опуклий чотирикутник; AC, BD — його діагоналі. На рисунку 2 KLMN — неопуклий чотирикутник.

Сума кутів чотирикутника дорівнює 360

Площа довільного опуклого чотирикутника дорівнює половині добутку діагоналей на синус кута між ними: S = 1 2 d 1 d 2 sin ⁡ θ {\displaystyle S={\frac {1}{2}}d_{1}d_{2}\sin \theta } , де d 1 , d 2 {\displaystyle d_{1},d_{2}}  — діагоналі та  — кут між ними ( рис. 3)

Чотирикутник вписаний в коло.

Рисунок 4

 Чотирикутник називають вписаним в коло, якщо всі його вершини лежать на колі. (рис. 4). Коло при цьому називають описаним навколо чотирикутника.

Властивості вписаного чотирикутника.

1) Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180°.

На малюнку: http://subject.com.ua/mathematics/zno/zno.files/image295.gifA + http://subject.com.ua/mathematics/zno/zno.files/image295.gifC = 180°; http://subject.com.ua/mathematics/zno/zno.files/image295.gifB + http://subject.com.ua/mathematics/zno/zno.files/image295.gifD = 180°. Таким чином, у вписаному чотирикутнику

http://subject.com.ua/mathematics/zno/zno.files/image295.gifA + http://subject.com.ua/mathematics/zno/zno.files/image295.gifC = http://subject.com.ua/mathematics/zno/zno.files/image295.gifB + http://subject.com.ua/mathematics/zno/zno.files/image295.gifD.

Площа чотирикутника, вписаного в коло: S=, де



p =

Рисунок 5

Чотирикутник, описаний навколо кола.

 Чотирикутник називають описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до кола (рис.5 ). Коло при цьому називають вписаним у чотирикутник.

Властивість описаного чотирикутника: в описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.

На малюнку: АD + ВС = АВ + СD. Крім того можна зауважити, що AD + BC = AB + CB =

Площа чотирикутника, описаного навколо кола: S =  

1.2 Паралелограм


Паралелограм – це чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні (лежать на паралельних прямих). AB||CD, BC||AD

Висотою паралелограма називають перпендикуляр, проведений з будь-якої точки сторони паралелограма до прямої, що містить протилежну сторону. З кожної вершини паралелограма можна провести дві висоти. На рис.6



paralelograms - copy - copy.jpg

Рисунок 6




BK і BF –висоти паралелограма, проведені відповідно до сторін

АD i CD



Діагоналлю паралелограма називається будь-який відрізок який сполучає дві вершини протилежних кутів паралелограма.

Паралелограм має дві діагоналі - довшу d1 та коротшу - d2 (рис.7)


1.2.1 Формули визначення довжини діагоналі паралелограма:


Рисунок 7

1. Формули діагоналей паралелограма через сторони та косинус кута β (за теоремою косинусів)

d1 =

d2 =

2. Формули діагоналей паралелограма через сторони та косинус кута α (за теоремою косинусів)

d1 =

d2 =

1.2.2 Ознаки паралелограма

Чотирикутник ABCD - паралелограм, якщо виконується хоча б одна з наступних умов:

1.Чотирикутник має пару паралельних та рівних сторін:

AB||CD, AB = CD (або BC||AD, BC = AD)

2.В чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні:

AB = CD, BC = AD

3.В чотирикутнику протилежні кути попарно рівні:

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

4.В чотирикутнику діагоналі точкою перетину діляться навпіл:

AO = OC, BO = OD

Приклад:

1. Визначити, чи є чотирикутник зі сторонами 4 м, 4 м, 6 м, 6 м паралелограмом.

Відповідь: ні, бо невідомо, чи є рівні сторони протилежними.

2. Визначити, чи є чотирикутник паралелограмом, якщо по черзі взяті сторони рівні 4 м, 6 м, 4 м, 6 м.

Відповідь: так, бо діє друга ознака.

1.2.3 Основні властивості паралелограма


1. Протилежні сторони паралелограма мають однакову довжину:

AB = CD = a, BC = AD =b

3. Протилежні кути паралелограма рівні:

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

4. Сума кутів паралелограма дорівнює 360°:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Сума кутів паралелограма прилеглих до будь-якої сторони дорівнює 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

6. Кожна діагональ ділить паралелограма на два рівних трикутника

7. Дві діагональ ділять паралелограм на дві пари рівних трикутників

8. Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину розділяють одна одну навпіл:


AO = CO =  ;
















ВО = DO =
9. Точка перетину діагоналей називається центром симетрії паралелограма

10. Сума квадратів діагоналей паралелограму дорівнює сумі квадратів його сторін:

AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2

11. Бісектриси протилежних кутів паралелограма завжди паралельні

12. Бісектриси сусідніх кутів паралелограма завжди перетинаються під прямим кутом (90°)










1.2.4 Периметр паралелограма


Означення.

Периметром паралелограма називається сума довжин всіх сторін паралелограма.

1. Формула периметру паралелограма через сторони паралелограма:

P = 2a + 2b = 2(a + b)

1.2.5 Площа паралелограма


Рисунок 8

Формули визначення площі паралелограма:

Площа паралелограма дорівнює: (рис.8)



  1. Добутку основи на висоту:

S=ahа

  1. Добутку сторін на синус кута між ними:

S=ab⋅sinα

  1. Формула площі паралелограма через дві діагоналі та синус кутa між ними:

S =




sin γ

Приклад 1. Знайдіть усі кути паралелограма, якщо сума двох з них дорівнює 140°.

Розв’язання. Оскільки сума двох кутів паралелограма дорівнює 140°, то це - протилежні кути, наприклад http://subject.com.ua/mathematics/zno/zno.files/image295.gifA і http://subject.com.ua/mathematics/zno/zno.files/image295.gifC . Оскільки http://subject.com.ua/mathematics/zno/zno.files/image295.gifA = http://subject.com.ua/mathematics/zno/zno.files/image295.gifC, то



http://subject.com.ua/mathematics/zno/zno.files/image2165.jpg


Поділіться з Вашими друзьями:
  1   2   3

Схожі:

Розділ І. Теоретичні відомості 1 Чотирикутник iconНавчально-методичний посібник Видання друге, виправлене І доповнене Черкаси 2002
У посібнику подано основні теоретичні відомості з ділового українського мовлення, висвітлено питання правопису та загальні мовні...
Розділ І. Теоретичні відомості 1 Чотирикутник iconРозділ 1 Загальні відомості
«Учитель року» з правознавства, 1-ше місце в номінації «Правознавство» 2010 рік
Розділ І. Теоретичні відомості 1 Чотирикутник iconВажливим елементом продуктивних сил є люди з їхнім рівнем освіти, досвіду й мастерності
Розділ І. Теоретичні засади управління кадровою політикою закладів охорони здоров’Я 6
Розділ І. Теоретичні відомості 1 Чотирикутник iconКомунальний навчальний заклад «Загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №5 Козятинської міської ради Вінницької області»
Розділ І. Науково-теоретичні основи розвитку творчих здібностей учнів
Розділ І. Теоретичні відомості 1 Чотирикутник iconЗміст вступ розділ теоретичні засади кадрового забезпечення органів публічної влади 8
Армаш Н. О. Державні політичні діячі: становлення та перспективи їх адміністративно-правового статусу. – Запоріжжя : кпу, 2012. –...
Розділ І. Теоретичні відомості 1 Чотирикутник icon"фразеологічні звороти з морською термінологією у морських оповіданнях джека лондона"
Розділ Теоретичні аспекти вивчення творчості Дж. Лондона, історія вивчення творчості Дж. Лондона
Розділ І. Теоретичні відомості 1 Чотирикутник iconТворчих завдань як основа для розвитку творчих здібностей
Розділ Теоретичні основи розвитку творчих здібностей дітей молодшого шкільного віку
Розділ І. Теоретичні відомості 1 Чотирикутник iconФормування патріотичних почуттів молодших школярів у позаурочній діяльності Магістерська робота Магістранта спеціальності 010102 – «Початкове навчання»
Розділ Теоретичні засади патріотичного виховання молодших школярів у позаурочній діяльності
Розділ І. Теоретичні відомості 1 Чотирикутник iconІ розділ загальні відомості про вчителя Люба Галина Іллівна
Вдосконалення професійної майстерності педагогічних працівників, підвищення результативності та якості навчально-виховного процесу...
Розділ І. Теоретичні відомості 1 Чотирикутник iconПрактична граматика
М. М. Гавриш (розділи 1, 5), О. П. Дмитренко (розділ 10), Л. М. Курченко (розділ 4), Т. А. Микал (розділи 3, 7), Н. Г. Приходько...


База даних захищена авторським правом ©biog.in.ua 2019
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка