„Застосування похідної до розв‘язування



Скачати 130,76 Kb.
Дата конвертації28.08.2017
Розмір130,76 Kb.
ТипКонспект




Конспект уроку з алгебри в 11 класі

Тема: „Застосування похідної до розв‘язування

прикладних задач”

Паньків Галина Семенівна,

вчитель математики

Зборівської державної української гімназії ім Романа Завадовича

Тернопільської області




Тема уроку. Застосування похідної до розв‘язування прикладних задач

Мета: повторити та узагальнити вивчені раніше відомості про похідну, формувати вміння застосовувати здобуті знання в нестандартних умовах.

Тип уроку. Урок узагальнення та систематизації знань.

Форма уроку. Урок-захист проектів

Обладнання уроку. Презентації задач в форматі Power Point, плакати, підручник «Алгебра і початки аналізу» для 11 класу (автори Нелін Є.П., Долгова О.Є.)

Зміст завдань для груп

  1. Історичні відомості (учні готують інформацію про виникнення математичного аналізу та його розвиток, про біографію та праці її творців тощо).

  2. Застосування похідної до розв'язування фізичних задач.

  3. Застосування похідної до розв'язання прикладних геометричних задач

Хід уроку.

I. Організаційний момент.

ІІ. Історичні відомості (учні першої групи)

(Розповідь супроводиться презентацією)

Наука, що на сьогодні називається математичним аналізом, виникла в працях багатьох видатних математиків XVII століття - спочатку у вигляді окремих теорем та методів розв'язування деяких задач. До кінця XVII століття основні положення цієї нової для того часу науки остаточно оформилися (причому одночасно) в роботах двох найвизначніших учених тієї епохи - англійського фізика та математика Ньютона та німецького математика і філософа Лейбніца.

Виникнення цієї математичної дисципліни не випадково припадає саме на XVII століття. У цю епоху розвиток науки та техніки дійшов тієї межі, коли для подальшого просування вперед необхідно було глибше проникнути у суть речей, вивчити закони природи та процеси, що відбуваються в навколишньому середовищі.

Всі процеси протікають з певною швидкістю, всі величини, що беруть участь у цих процесах, змінюються, причому вони взаємозв'язані. Тому постала необхідність у такому апараті, за допомогою якого можна було б вивчати змінні процеси. Саме такий апарат і був розроблений у математичному аналізі. Таким чином, виникнення математичного аналізу було історично неминучим: цього вимагали потреби механіки, фізики та техніки. У свою чергу, саме ці вимоги були визначені рівнем розвитку виробничих сил суспільства. Проте повне його обґрунтування було дано лише наприкінці XIX століття.

Ключовими поняттями математичного аналізу є поняття функції, границі, похідної та інтеграла.

Термін „функція" вперше запропонував у 1692 р. видатний німецький філософ і математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716) для характеристики відношення відрізків, а перше означення функції, яке вже не було пов'язане з геометричними уявленнями, сформулював Йоган Бернуллі (1667-1748) у 1718 р. Уточнив це поняття Леонард Ейлер (1707-1783) і ввів символ функції f(x).

Термін „границя" і відповідний символ lim вперше було введено англійським математиком і механіком Ісааком Ньютоном (1643-1727), а його строге означення сформулював у 1823 р. французький математик Огюстен Луї Коші (1789-1857).

Похідна — одне з фундаменталь­них понять математики. Відкриттю похідної та основ диференціаль­ного числення передували роботи французьких математиків П'єра Ферма (1601—1665), який у 1629 р. запропонував способи знаходження найбільших і найменших значень функцій, проведення дотичних до довільних кривих, що фактично спиралися на застосування по­хідних, а також Рене Декарта (1596—1650), який розробив метод координат і основи ана­літичної геометрії. У 1670—1671 рр. англій­ський математик і механік Ісаак Ньютон (1643—1727) і дещо пізніше у 1673—1675 рр. німецький філософ і математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646—1716) незалежно один від одного побудували теорію диферен­ціального числення. І.Ньютон прийшов до по­няття похідної, розв'язуючи задачі про миттє­ву швидкість, а Лейбніц — розглядаючи геомет­ричну задачу про проведення дотичної до кри­вої. Термін «похідна» ввів у 1797 р. французький математик Жозеф Луї Лагранж (1736—1813). Він ввів і сучасні позначення для похідної у вигляді та f./. Сам термін «по­хідна» є перекладом відповідного французько­го слова derivee, яке досить влучно пояснює зміст цього поняття: функція f'(x) у певному розумінні походить від функції f(x), тобто є похідною від неї. До Лагранжа похідну за про­позицією Лейбніца називали диференціальним коефіцієнтом і позначали . Позначення Лейбніца чітко відображало саме походження похідної як границі відношення .Тому його часто використовують і в сучасних курсах ма­тематичного аналізу. Ньютон, який у своїх підходах до обґрунтування математичного ана­лізу широко застосовував фізичні уявлення, похідну називав флюксією (дослівно з лати­ни — «витіканням»), а саму функцію флюентною (дослівно «текучістю»). Ці терміни Нью­тона не прижилися.

Терміни «диференціальний», «диференційо­вана», «диференціювання» тощо відобража­ють той аспект утворення поняття похідної, що пов'язаний із знаходженням різниць f(x)-f(x0) = y та хх0 =x (differentia в пе­рекладі з латини означає «різниця»).

Велику роль у розвитку диференціального числення відіграв видатний математик, фізик, механік і астроном Леонард Ейлер, який написав підручник «Диференціальне числення» (1755 р.)

За допомогою диференціального числення було розв'язано багато задач теоретичної ме­ханіки, фізики та астрономії. Зокрема, викори­стовуючи методи диференціального числення, вчені передбачили повернення комети Галлея, що стало тріумфом науки XVIII ст.

За допомогою цих методів математики у XVIII ст. вивчали властивості різних кривих, знайшли криву, по якій найшвидше падає ма­теріальна точка, навчилися знаходити криви­ну ліній.

І тепер поняття похідної широко застосо­вується у різних галузях науки та техніки.

ІІІ. Застосування похідної до розв'язання фізичних задач

Учні цієї групи послідовно представляють розв'язання конкретних задач з використанням електронної презентації, решта учнів записують розв’язування задач в робочих зошитах. Коли виникають якісь запитання до ходу розв’язування задачі, учні, які презентують задачу, дають пояснення, якщо в них виникають утруднення, то звертаються за допомогою до аудиторії або вчителя.



Представлення задач учнями

1. Центральні поняття диференціального числення - похідна та диференціал. Операцію знаходження похідної називають диференціюванням.

Задача на знаходження миттєвої швидкості нерівномірного руху за відомою залежністю координати х від часу розв'язується так:

похідною від координати є швидкість;

a(t)= /(t)=:x//(t) похідна від швидкості за часом є прискорення.

Таким чином, прискорення - друга похідна від координати за часом.



Задача 1. Тіло масою 2 кг рухається прямолінійно за законом x(t)=t 2+t+l. Координата вимірюється в метрах, час t - в секундах. Знайти:

а) діючу силу; б) кінетичну енергію тіла через 2 с після початку руху.



Р
Дано:

x(t)=t2+t+1

m=2кг

t=2c

F -? E–?
озв’язання


;

при t= 2c,



;



Відповідь: 4 Н; 25 Дж

Задача 2. По прямій рухаються дві матеріальні точки за законами

x1(t)=6t2 -3; x2(t)=t3 . У якому проміжку часу швидкість першої точки більша від швидкості другої точки?

Розв 'язання:

Враховуючи те, що швидкість є похідною від координати (шляху), маємо такі залежності:

За умовою 1 >2 тобто 12t>3t2 ; 12t-3t2>0; 3t(t–4)<0

+ – +




0 4 t є (0;4)

Відповідь: у проміжку часу t (0;4с) швидкість першої точки буде

більша за швидкість другої точки.



2. З точки зору фізики диференціювання - це визначення швидкості зміни змінної величини. сила струму є величиною , яка похідна по часу від заряду

потужність – величина, яка є похідною від роботи

Задача 3. Заряд конденсатора ємністю 10 пФ коливального контуру при здійсненні вільних електромагнітних коливань змінюється за законом

q


Дано:

С=10пФ=10–11 Ф

q= 10 –6 sin 10 5 t

I (t1)=0,5 I max



Розв‘язання

q=Qmax sin t . Тому за умовою маємо Qmax =10 -6 Кл =

=1мкКл ;  =10 5  Гц

Так як , то



i=q/(t)=0,1 cos105t (A), Іmax =0,1A0,314A=314мА


Т – ? Imax –?

Wел (t1) –?


=10–6sin l05t. Знайти період коливань, амплітудне значення сили струму в котушці. Чому дорівнює енергія електричного поля конденсатора в момент, коли сила струму в котушці складає половину її амплітудного значення ?

За умовою задачі нас цікавить час, коли сила струму в котушці складає половину її амплітудного значення, тобто маємо cos105 t1=0,5 , звідси значення синуса аналогічного аргументу становить sin105 t1= , q(t1)=Qmax· Wел(t1)=



Відповідь: 20 мкс, 314 мА, 37,5 мДж

IV. Застосування похідної до розв'язання прикладних задач з геометрії

Розв'язання багатьох практичних задач зводяться до знаходження найбільшого та найменшого значень неперервної на відрізку функції, тобто знаходження екстремумів (демонструється таблиця–схема знаходження найбільшого і найменшого значення неперервної функції на відрізку). Загальний метод розв'язування задач на екстремум за допомогою похідної складається з трьох етапів:



  1. формалізація (задача „перекладається" мовою функцій, для цього обирається зручний параметр х, через який шукану величину виражають як функцію f(x);

  2. розв'язання одержаної математичної задачі;

  3. інтерпретація знайденого розв'язку („переклад" його з мови математики у терміни первинної задачі).

З
Дано:

S1 =3 км

S2= 5 км

1 =4км/год

2=5 км/год

____________

tmin – ?


адача 4
.(№19 на c.109 підручника) Човен знаходиться на озері на відстані 3 км від найближчої точки А берега. Пасажир човна має намір досягти села В, що розташоване на березі на відстані 5 км від А (ділянка AB берега вважається прямолінійною). Човен рухається зі швидкістю 4 км/год, а пасажир, вийшовши з човна, може за годину пройти 5 км. До якої точки берега має дістатися човен, щоби пасажир досяг села у найкоротший термін?

M

S1
S2

A x N B
Розв‘язання.


S1=AM, S2=AB. Нехай шукана точка N. AN=x, 0≤x≤S2, BN=S2 –x,

MN= , ;

;

Знайдемо найменше значення функції t(x) на відрізку [0;5], знайшовши критичну точку для якої t/(x)=0 і обчисливши значення функції в цій точці



при

Маємо

Піднесемо до квадрату почленно праву і ліву частини, одержимо:

25х2=144 + 16х2; 9х2=144; х2 =16.

Звідси х = ±4. t(0)=1,75 c; t(5)=; t(4)=1,45 c



+ x

0 4 5


t/(x) < 0 на (0;4); t/(x) > 0 на (4;5). Точка х=4 є точкою мінімуму функції. Отже, щоб досягти пункту В у найкоротший час пасажир має дістатися берега у точці N, що знаходиться на відстані 4 км від А, або на відстані 1 км від В.

Відповідь: на відстані 1 км від В.

Задача 5. ( №42(1) на с.182 підручника )

Серед усіх циліндрів, вписаних у дану кулю, знайдіть той, який має найбільший об’єм.



Розв‘язання.

Скористаємось рисунком, який містить об’ємне зображення циліндра, вписаного в кулю та осьовий переріз комбінації цих тіл (учням роздають невеликі карточки з роздрукованими шаблонами малюнків для зменшення часу на виконання малюнку).

Дана куля характеризується певним радіусом R=ОА=ОВ=ОР=ОК. Позначимо через х радіус вписаного в кулю циліндра , тобто х=АС=ВС=МР=МК, тоді висоту циліндра ВК=АР=СМ можна подати як , тобто як подвоєний відрізок ОС.

Досліджувану функцію об’єму вписаного циліндра виразимо через величини R –радіус кулі та х- радіус циліндра. Маємо

Найбільше значення функція набуває в критичних точках, тому знайдемо їх, обчисливши похідну функції та прирівнявши її до нуля.

З умови маємо , тобто ;



+ –




0 R

При значенні радіуса циліндра функція об’єму циліндра набуває максимального значення. Висота циліндра при цьому становить , об’єм циліндра становитиме



Задача 6 ( №42(2) на с.182 підручника )

Серед усіх циліндрів, вписаних у дану кулю, знайдіть той, який має найбільшу бічну поверхню.



Розв‘язання.

Задача аналогічна до попередньої, тому скористаємось малюнком і співвідношеннями попередньої задачі. Дана куля характеризується певним радіусом R=ОА. Позначимо через х радіус вписаного в кулю циліндра , тобто х=АС, тоді висоту циліндра можна подати як , тобто як подвоєний відрізок ОС.

Досліджувану функцію площі бічної поверхні циліндра виразимо через величини R –радіус кулі та х- радіус циліндра. Маємо

Найбільше значення функція набуває в критичних точках, тому знайдемо їх, обчисливши похідну функції та прирівнявши її до нуля.

З умови маємо , тобто

+ –




0 R

При значенні радіуса циліндра функція площі бічної поверхні циліндра набуває максимального значення. Висота циліндра при цьому становить , тобто осьовий переріз – квадрат, а площа бічної поверхні циліндра становитиме



V. Підсумок уроку. Домашнє завдання.

Вами була пророблена досить значна робота. Керівники груп подали відомості про те, який вклад в роботу групи вніс кожен учасник. Ви прослухали представлення. Тож оцінки з алгебри одержали ... і відповідно з інформатики за якісні презентації оцінки одержали ... ( оцінювання вкладу учасників проекту)

Домашнім завданням будуть задачі № 6, та № 9 (с. 108 підручника) Повторити §6 Умови домашніх задач

Задача 6. Число 4 розбийте на два доданки так, щоб сума першого доданка з квадратом другого була б найменшою.

Задача 9. З квадратного листа картону із стороною а треба виготовити відкриту зверху коробку, втирізавши по кутиках квадратики і загнувши утворені краї. Якою повинна бути висота коробки, щоб її об’єм був найбільшим?


Додатки Екрани презентацій

















































Каталог: bitstream -> 123456789
123456789 -> Урок позакласного читання у 8 класі Презентація проекту
123456789 -> Творчість А. Міцкевича апогея польського романтизму
123456789 -> Ключове запитання: Справжній Митець… Який він? Для реалізації проекту було створено групи „Біографи”
123456789 -> В. Стефаник. Новаторство письменника. Експресіонізм у його творчості
123456789 -> Урок 1 Тема. Як не любить той край Матеріал уроку. Володимир Сосюра "Як не любить той край "
123456789 -> Конспект уроку із світової літератури для 7 класу Тема. Поетизація давньоруської минувшини в баладі О. С. Пушкіна «Пісня про віщого Олега»
123456789 -> 5 клас Тема уроку. Шлях Мауглі від вихованця джунглів до їх володаря. Мета уроку


Поділіться з Вашими друзьями:

Схожі:

„Застосування похідної до розв‘язування iconЮ.Є. Кравцова дистанційний курс рівняння. Застосування рівнянь до розв’язування задач

„Застосування похідної до розв‘язування icon«Хвильова і квантова оптика». Розв'язування задач. Актуалізація знань
Задачі для розв'язування на уроці На який кут відхиляється промінь від початкового напряму поширення, якщо кут падіння на поверхню...
„Застосування похідної до розв‘язування iconКвадратні рівняння
Мета: систематизувати знання, вміння І навички учнів стосовно видів І методів розв’язування квадратних рівнянь; перевірити набуті...
„Застосування похідної до розв‘язування iconУрок алгебри, 7 клас Тема уроку. Множення одночлена І многочлена. Розв’язування вправ. Мета уроку
Мета уроку. Закріпити І вдосконалити уміння застосовувати алгоритми множення одночлена на многочлен до перетворення (спрощення) цілих...
„Застосування похідної до розв‘язування iconПлан-конспект уроку з математики в 6 класі за темою: «Розв’язування задач на сумісну роботу»
Теоретичне обґрунтування проблеми розв’язання задач на одночасний рух та спільну роботу 6
„Застосування похідної до розв‘язування iconЗастосування похідної до дослідження функцій та побудови графіків
Методи навчання: наочний,словесний, практичний, метод систематизації, пояснювально-ілюстрований, частково-пошуковий, метод самостійної...
„Застосування похідної до розв‘язування iconТема. Геометричний І фізичний зміст похідної
Мета: систематизувати знання учнів з теми й підготувати їх до контрольної роботи; показати учням, наскільки ця тема важлива при розв'язанні...
„Застосування похідної до розв‘язування iconКнму «П’ятихатський районний методичний кабінет» П’ятихатської районної ради Дніпропетровської області
Шеремет Т. А. Розвиток критичного мислення учнів під час розв’язування задач з фізики
„Застосування похідної до розв‘язування iconРозв’язування задач з теми «Виштовхувальна сила. Закон Архімеда. Умови плавання тіл»
Навчальна: набуття вмінь та навичок розв’язувати задачі з теми «Виштовхувальна сила. Закон Архімеда. Умови плавання тіл»
„Застосування похідної до розв‘язування iconТема перпендикуляр І похила. Властивості похилих мета
Розвивати уміння І навички учнів використовувати теорему Піфагора та властивості прямокутних трикутників під час розв’язування задач....


База даних захищена авторським правом ©biog.in.ua 2019
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка