2. Квадратні рівняння і їх розв’язання Означення квадратного рівняння



Скачати 489,43 Kb.
Сторінка1/3
Дата конвертації14.05.2017
Розмір489,43 Kb.
  1   2   3

ПЛАН

1. Вступ


2. Квадратні рівняння і їх розв’язання

2.1. Означення квадратного рівняння

2.2. Види квадратних рівнянь

2.3.Неповні квадратні рівняння

2.4.Зведене квадратне рівняння

2.5.Формула коренів квадратного рівняння загального виду

2.6.Розв’язування рівнянь за формулою

2.7.Графічне розв’язування квадратних рівнянь

3. Теорема Вієта

3.1. Теорема Вієта і обернена до неї

3.2.Розкладання на множники квадратного тричлена

4. Рівняння і системи рівнянь що зводяться до квадратних

4.1. Дробові рівняння

4.2. Системи рівнянь другого степеня

5. Задачі на складання квадратних рівнянь

5.1. Способи розвязування задач

5.2. Задачі з буквеними данними

6. Висновок

7. Список використаної літератури


  1. ВСТУП

Вивченню рівнянь присвячена значна частина всього навчального часу.

Особлива значимість цієї теми полягає в широкому застосуванні рівнянь в найрізноманітніших галузях застосування математики.

Способи розв’язування деяки видів квадратних рівнянь з числовими коефіцієнтами були відомі ще за 1500 років до н.е. У творі «Начала» давньогрецького математика Евкліда разом з геометричним матеріалом містяться і задачі на квадратні рівняння, зокрема розв’язання задачі про «золотий переріз».

Неповні квадратні рівняння і окремі види повних квадратних рівнянь (х2 ± х = а) вміли розв'язувати вавілоняни (близько 2 тис. років до н.е.). Про це свідчать знайдені клинописні тексти задач з розв'язаннями (у вигляді рецептів). Деякі види квадратних рівнянь, розв'язок яких зводиться до геометричних побудов, вміли ров'язувати старогрецькі математики. Приклади розв'язування рівнянь без звертання до геометрії дає Діофант Александрійський (III ст.). В шести з 13 книг «Арифметика», що дійшли до нас, містяться задачі з розв'язками, в яких Діофант пояснює, як треба вибрати невідоме, щоб дістати розв'язок рівняння виду ах = b або ах2 = b. Спосіб розв'язування повних квадратних рівнянь Діофант виклав у книжках «Арифметика», які не збереглися.

Правило розв'язування квадратних рівнянь, зведених до виду ах2 + bх = =с,. де а > 0, сформулював індійський вчений Брахмагупта (VII ст.). У трактаті «Китаб аль-джебр валь-мука-бала» хорезмський математик аль-Хорезмі пояснює прийоми розв'язування рівнянь виду ах2 = bх, ах2 = с, ах = с, ах2 + с= = bх, ах2 + bх = с, bх + с = ах2 (буквами а, b і с позначено лише додатні числа) і знаходить лише додатні корені.

Загальне правило розв'язування квадратних рівнянь, зведених до виду х2 + bх = с, сформулював німецький математик М. Штіфель (1487—1567). Виводом формули розв'язування квадратних рівнянь загального виду займався Вієт. Проте своє твердження він висловлював лише для додатних коренів (від'ємних чисел він не визнавав). Після праць нідерландського математика А. Жірара (1595—1632), а також Декарта і Ньютона спосіб розв'язування квадратних рівнянь набув сучасного

вигляду.

Формули, які виражають залежність коренів рівняння від його коефіцієнтів, ввів Вієт у 1591 р. Для квадратного рівняння теорема Вієта в сучасних позначеннях мала такий вигляд: коренями рівняння (а + b)х — х2 = =аb є числа а і b.

За сучасною шкільною програмою тему «Квадратні рівняння» вивчають у 8-му класі. Розглядати цей розділ треба за принципом: «Від найпростішого до складного». Це дає змогу учням краще та швидше засвоювати навчальний матеріал.


  1. Квадратні рівняння і їх розв’язування




    1. Означення квадратного рівняння

У методичній літературі є багато різних означень поняття «квадратне рівняння». Найбільш поши­рені три типи означень. До першого типу можна віднести такі: «Рівняння називається квадратним, якщо найвищий показ­ник степеня при невідомому дорівнює двом» .

Це означення неправильне, бо його задовольняє, наприклад, рівняння



яке, зрозуміло, не можна віднести до квадратних.

До другого типу означень віднесемо ті, в яких ототожнено поняття «квадратне рівняння» і «квадратне рівняння нормаль­ного виду»:

«Рівняння виду ах2 + bх + с =0, де х — невідома величина, а, b, с — задані числа (а ≠ 0), нази­вається квадратним» [1, 110].

Таке означення найбільш поширене. Але й воно має недолі­ки. Згідно з цим означенням рівняння х2 =3х + 5, х2 - 5х + 7 =1, не квадратні. А як їх називати? Математики їх також відносять до квадратних рівнянь. Отже, треба давати інше означення. Са­ме цим і зумовлений третій тип означень.

«Рівняння, яке після перетворень можна звести до вигляду ах2 + bх + с= = 0, де а, b, с — довільні числа і а 0, а х — неві­доме, називається рівнянням другого степеня з одним неві­домим, або, простіше, квадратним рівнянням» [2, 286].

Проте й таке означення ми не можемо вважати вдалим, бо, наприклад, кожне з рівнянь

можна звести до вигляду ах2 + bх + с = 0, але їх тепер не на­зивають квадратними. Раніше, правда, і їх відносили до квад­ратних рівнянь. Квадратними називають тільки деякі цілих раціональних рівнянь; але ні дробових рівнянь, ні ірраціо­нальних не бажано відносити до квадратних, хоч вони й можуть бути рівносильні деяким квадратним рівнянням.

Як бачимо, жодне з наведених вище означень квадратного рівняння не можна вважати бездоганним. Пізніше ми сформу­люємо інші означення — одне для довільного квадратного рів­няння, друге для квадратного рівняння нормального вигляду. А поки що зробимо ще одне зауваження. Не можна ототожню­вати поняття «квадратне рівняння» і «рівняння другого степеня». Рівняння другого степеня може мати два і більше невідомих. Наприклад,

xy+5x-6y=7

— рівняння другого степеня відносно невідомих х і у. А квад­ратним його не називають. Квадратне рівняння — це рівняння другого степеня з одним невідомим.

Перед означенням квадратного рівняння доцільно з'ясувати поняття цілого алгебраїчного рівняння. Зробити це можна так.

— Рівняння, обидві частини якого — цілі алгебраїчні вирази, називається цілим алгебраїчним.

Приклади цілих алгебраїчних рівнянь:

x+3 = 7, 6с2 + 1- 5с = 0, х2 - у=72.

Навпаки, рівняння



не ціле, бо воно містить дробові вирази. Такі рівняння назива­ють дробовими.

Раніше ми розглядали цілі алгебраїчні рівняння, що містять невідоме тільки в першому степені. Але іноді доводиться розв'я­зувати і такі рівняння, що містять невідоме в другому степені.

Задача. Одне з двох чисел більше від другого на 7, а до­буток їх дорівнює 744. Знайти ці числа.

Розв’язання: Позначимо менше число буквою х. Тоді більше буде х + +7. Добуток цих чисел дорівнює х (х + 7). В за­дачі сказано, що добуток цих двох чисел дорівнює 744. Отже,

х (х + 7) = 744, або х2 + = 744.

Дістали рівняння, що містить невідоме х і в першому, і в другому степені. Такі рівняння називають квадратними. В квад­ратному рівнянні всі члени з правої частини можна перенести в ліву (з протилежними знаками). Отже, кожне квадратне рів­няння можна замінити рівносильним йому рівнянням виду



ах2 + bх + с =0,

де а, b і с — дані числа, коефіцієнти рівняння.

Коефіцієнти квадратного рівняння можуть бути цілими і дробовими, додатними і від'ємними. Коефіцієнти b і с можуть також дорівнювати нулю, але а не може дорівнювати нулю, бо інакше це рівняння не було б квадратним.

Приблизно таким поясненням підводимо учнів до означення квадратного рівняння. А тепер вже можна сформулювати його: ціле рівняння з одним невідомим, яке після розкриття дужок, перенесення всіх членів у ліву частину і зведення подібних чле­нів набирає вигляду



ах2 + bх + с = 0,

де а ≠ 0, b, с довільні числа, називається квадратним рів­нянням.

Рівняння ах2 + bх + с = 0 при а ≠ 0 називається квадрат­ним рівнянням нормального виду.

Бажано після цього повторити з учнями ці означення, про­ілюструвати їх кількома конкретними прикладами і контрприкладами (див. [4, 33]), а вже потім перейти до розгляду квадрат­них рівнянь окремих видів.



2.2 Види квадратних рівнянь

У підручнику О. М. Барсукова насамперед говориться про квадратне рівняння нормального виду (при а≠0), а потім відмічається: «Надалі для спрощення завжди припускатимемо, що а >0» [3, 211].

Виходить, учні ознайомляться з квадратним рівнянням нор­мального виду, але далі розглядатимуть не його, а лише рівнян­ня виду ах2 + bх + с = 0 при додатному а, для якого не­має спеціальної назви. Методично це незручно. Значно краще було б або називати квадратним рівнянням нормального виду рівняння ах2 + bх + с = 0 при а > 0 і зауважити, що надалі розглядатимемо саме такі рівняння, або не обмежуватись роз­глядом таких рівнянь лише при додатних а. Очевидно, другий варіант кращий.

Навіщо накладають умову а > 0? Тільки для того, щоб не розглядати двох випадків, коли виводять формули коренів. Ад­же якщо виводити формулу коренів для рівняння ах2 + bх + + с = 0 при а > 0, то можна писати:



А якби не наклали умову а > 0, то треба було б писати інакше:




Проте це не дуже важлива причина, бо перед останнім дробом стоїть подвійний знак ±, отже, і при додатному, і при від'ємно­му а дістанемо ту саму формулу

До того ж цю формулу можна виводити й іншим способом, так, що не треба виносити а за знак радикала.

Ось чому не треба накладати умову а > 0, а розгля­дати в школі квадратне рівняння нормального виду ах2 + bх + с = 0 при довільному а≠ 0.

Якщо в рівнянні ах2 + bх + с = 0 хоч один з коефіцієнтів b або с дорівнює нулю, то таке квадратне рівняння називають неповним. Розглядають три види неповних квадратних рівнянь:



ах2 + bх = 0 — квадратне рівняння без вільного члена;

ах2 + с = 0 — двочленне квадратне рівняння;

ах2 = 0 — одночленне квадратне рівняння.

Подібні терміни часто вживаються в курсі вищої алгебри для рівнянь n-го степеня .

Щоб підкреслити, що дане квадратне рівняння не є непов­ним, вживають термін «повне квадратне рівняння». Так назива­ють рівняння ах2 + +bх + с = 0, в якому а≠0, b0, с≠0. Не треба протиставляти повному квадратному рівнянню зведе­не. Зведеним може бути і повне квадратне рівняння, і неповне (при а = 1).


    1. Неповні квадратні рівняння

Починають звичайно з неповних квадратних рівнянь. Дають означення, показують, що неповних квадратних рівнянь є три види, і тільки після цього приступають до їх розв'язування. Розгля­дати їх найкраще в такій послідовності:

ах2 + bх = 0, ах2 = 0, ах2 + с = 0.

Починати розгляд кожного виду краще з конкретного при­кладу.



Приклад 1. Розв'язати рівняння 5х2 + 4х = 0.

Розв’язання. Розклавши ліву частину цього рівняння на множники, дістанемо:

х (5х + 4) = 0.

Відомо, що добуток двох множників-многочленів дорівнює нулю, коли перший або другий з них дорівнює нулю. Маємо: або х = 0, або + 4 = 0, звідки х = - 0,8.

Отже, дане рівняння має два корені: х = 0 і х = - 0,8. Пи­шуть також: х1 = 0; х2 = -0,8.

Перевірка.

1) 5·02 +4·0 = 0; 2) 5· (—0,8)2+ 4·(—0,8) = 3,2 - 3,2 = 0.



В і д п о в і д ь. х1 = 0; х2 = -0,8.

Варто таким самим способом розв'язати ще два рівняння з числовими коефіцієнтами, а потім узагальнити.

Так само можна розв'язати будь-яке квадратне рівняння виду

ах2 + bх = 0.

Розклавши ліву частину цього рівняння на множники, дістанемо:



х(ах + b) = 0.

Прирівнявши спочатку перший, а потім другий множник де нуля, знайдемо:

1) x = 0;

2) ах + b = 0, звідки х =.

Отже, кожне рівняння виду ах2 + bх = 0 має два корені: х1= 0, х2 =.

Не всі, правда, з останнім висновком погоджуються. Іноді зазначають, що рівняння розглядуваного виду має два розв'яз­ки тільки при b0. Якщо ж b = 0, то дістанемо неповне квад­ратне рівняння виду ах2 = 0, яке має тільки один корінь х = 0. Такого погляду дотримується багато методистів, у тому числі М. Барсуков [3, 214]. Проте є й інші думки. Наприклад, В. В. Реп'єв про рівняння ах2 = 0 пише: «Оскільки а 0, то воно зводиться до рівносильного рівняння х2 = 0. Звідси х1 = 0 і х2 = 0. Рівняння має два корені, кожний з яких дорівнює ну­лю» [5, 242].

Отже, одні автори підручників і посібників спочатку поясню­ють, що рівняння ах2 = 0 має тільки один корінь, а через кіль­ка уроків зауважують: «Домовимось вважати, що рівняння ах2 = 0 також має два корені: х1 = 0 і х2 = =0». Інші з самого по­чатку пояснюють, що розглядуване рівняння має два рівних ко­рені. З методичного і наукового погляду другі роблять краще.

Рівняння виду ах2 + с = 0 спочатку бажано розглянути при а = 1, наприклад:



x2 - 4 = 0.

Ось як пропонують розв'язувати це рівняння деякі методи­сти.

«Наприклад, розв'язується рівняння х2 = 4, х1,2= ±2. Учні часто не розуміють, чому ± ставлять тільки в правій частині. Можна пояснити на тому самому прикладі х2 = 4; ±х = ±2. Це дає чотири комбінації знаків, які зведуться до двох:

Тому досить писати х1,2= ±2» .

Цей метод розв'язування був досить поширений раніше, але він дуже невдалий, йдеться про таке розв'язання: «Добувши з обох частин рівняння х2 = 4 квадратні корені, дістанемо ±х = ±2...». Тут багато незрозумілого. По-перше, яке ми маємо право добувати з обох частин рівняння квадратні корені? Ми ж раніше не доводили, що в результаті дістанемо рівняння, рівно­сильне даному, та цього й не можна довести. По-друге, чому саме добуваємо не арифметичні корені, а «алгебраїчні»? Учням це не зовсім зрозуміле. Нарешті, чому з рівності ±х = ±2 ми повинні виписати всі можливі чотири комбінації, а не брати окремо тільки верхні знаки, а потім тільки нижні? Наприклад, якщо з обох частин рівності 4 = 4 добути квадратні корені, то дістанемо ±2 = ±2, а звідси не випливає, що +2 = —2, і т. ін.

Ось чому не рекомендується розв'язувати двочленні квад­ратні рівняння таким способом. Значно краще ліву частину та­кого рівняння розкласти на множники:



x2 - 4 = 0, (x-2)(x+2)=0

Отже, х — 2 = 0, звідки х = 2, або х + 2 = 0, звідки х = —2.

Таким чином, дане рівняння має два корені: х1 = 2, х2 = —2. Можна пояснювати й так. Дане рівняння рівносильне такому: х2 = 4. Треба знайти число х, квадрат якого дорівнює 4. A це означає, що треба знайти квадратний корінь з 4. Квадратних коренів з числа 4 є два: 2 і —2. Отже, рівняння має два корені:

х1 = 2, х2 = —2.

Тут другий спосіб здається гіршим від першого, але цим спо­собом зручніше розглядати загальний випадок рівняння ахг + с = 0. Перенесемо член с в праву частину і поділимо всі члени здо­бутого рівняння на а. В результаті дістанемо:



х2 =

Якщо а і с мають різні знаки (однe додатне, а друге від'ємне), то число додатне. Тоді х — число, квадрат якого дорівнює , тобто х дорівнює квадратному кореню з числа . Таких квадратних коренів є два: і .

У цьому випадку дане рівняння має два корені:

х1=, х2=

Якщо а і с мають однакові знаки, то число від'ємне. До­бути квадратний корінь з від'ємного числа не можна. Тому в цьому випадку дане рівняння не має жодного розв'язку.

Отже, неповне квадратне рівняння виду ах2 + с = 0 не має жодного розв'язку, якщо коефіцієнти а і с мають однакові зна­ки, а якщо їх знаки різні, то це рівняння має два розв'язки:

Тільки тепер можна зауважити, що такі дві формули домо­вились об'єднувати в одну, вживаючи подвійний знак ±:



х1,2=.

2.4 Зведене квадратне рівняння

Програми пропонують зразу після неповних квадратних рівнянь розглянути зведені рівняння. Можливі два способи їх вивчення:

1) зразу ви­вести формулу коренів, а потім, користуючись нею, розв'язувати різні конкретні зведені квадратні рівняння ;

2) почати з розв'язування конкретних зведених рівнянь спосо­бом виділення повного квадрата, після чого учні самі зможуть вивести загальну формулу. Другий спосіб (його можна назвати конкретно-індуктивним) має багато переваг порівняно з першим. Шкільний задачник П. О. Ларічева також передбачає, що спо­чатку вчитель пропонуватиме учням розв'язувати рівняння без формули, виділяючи повні квадрати двочленів.



Робити це можна так. Нехай треба розв'язати рівняння х2 +— 33 = =0. Тут х2 — квадрат шуканого числа. 8х можна роз­глядати як 2 · х · 4, тобто як подвоєний добуток першого числа на 4. Додамо й віднімемо 42:

х2 +2 · х · 4 + 42 - 42 – 33 =0

Три перші доданки становлять квадрат суми чисел х і 4. От­же, здобуте рівняння можна записати так:

(х + 4)2— 16 — 33 = 0, або (х + 4)2 —72=0.

Розкладемо на множники різницю квадратів, що в лівій ча­стині:

(х + 4 - 7)(х + 4 +7) = 0, або (х - 3)(х + 11) = 0

Бачимо, що добуток двох виразів дорівнює нулю. Це може бути, коли один або другий з них дорівнює нулю. Маємо:



х — 3 = 0, звідки х = 3, або х + 11 = 0, звідки х = — 11.

Відповідь. Рівняння має два корені: х1 = 3, х2 = —11.

Зрозуміло, що, діставши рівняння + 4)2—16 — 33 = 0, далі можна розв'язувати інакше: + 4)2 = 49.

Це — неповне квадратне рівняння виду z2 = 49. Воно має розв'язки z1 = 7, z2= —7. Отже,

х + 4 = 7, звідки х = 3,

або


х + 4 = — 7, звідки х = — 11.

Ці обидва прийоми розв'язання для учнів однаково зрозу­мілі.

Бажано, розв'язавши однe таке рівняння, виконати перевір­ку, а потім таким самим способом розв'язати ще кілька рівнянь. На наступному уроці можна зразу запропонувати учням роз­в'язати рівняння з буквеними коефіцієнтами х2 + рх + q = 0, тобто самостійно вивести формулу коренів для зведеного квадратного рівняння:

х1,2=.

2.5 Формула коренів квадратного рівняння загального виду

Формулу коренів квадратного рівняння загального виду ах2 + bх + с = =0 (за умови, що b2—4ас≥0), можна виводити багатьма різними виду способами. Якщо перед цим розглядати, як пропонує діюча програма, зведене квадратне рівнян­ня, то рівняння загального виду діленням на а (а≠0) можна за­мінити зведеним:



х 2 + + = 0.

Тоді, підставивши у формулу коренів зведеного рівняння р = , q =, зразу дістанемо



х1,2=.

звідки при а > 0



х1= , х2=
а при а < 0

х1=, х2=

В обох випадках маємо ті самі дві формули, які можна об'єдна­ти в одну:



х1,2=

Ця формула вірна при будь-яких а ≠ 0.

Зауважимо, що таке виведення формули можна давати учням тільки тоді, коли вони:

1) знають формулу коренів зведеного квадратного рівняння

2) знають теорему про корінь з дробу.

Але, як видно з нової програми, цих питань семикласники мо­жуть не знати. Тоді доведеться пояснювати інакше.

Помноживши обидві частини рівняння ах2 + bх + с = 0 на 4а, дістанемо рівносильне йому рівняння:

2x2 + 4аbх + 4ас = 0,

2х2 + 4аbх + b2 — b2+4ас = 0, (2ах + b)2 = b2 — 4ас.

Тепер розглянемо два випадки.

1. Якщо b2 4ас > 0, то 2ах + b = ± , звідки

х1,2=
2. Якщо b2 4ас < 0, то рівняння коренів не має.

Другий спосіб простіший. До того ж при таких міркуваннях відпадає потреба окремо розглядати випадки, коли а > 0 і коли а < 0. Тому цей спосіб можна вважати найкращим.



Скільки формул давати учням

Вище ми розглянули дві формули коренів квадратних рівнянь, а саме: для рівняння х2 + рх + q = 0:



х1,2= (І)

і для рівняння ах2 + bх + с = 0:



х1,2=. (II)

Багато методистів пропонують давати учням також формулу

для рівняння ах2 + 2kх + с= 0:

х1,2=. (III)

У посібникуах, крім згаданих вище, пропонуються ще дві формули для зведеного і загального рівнянь відповідно:



х1,2=, (IV)

х1,2=. (V)

Постає питання: які з цих п'яти формул давати учням? Дві останні ніхто з методистів не рекомендує. Щодо трьох перших, погляди ме­тодистів значно розходяться. Раніше вимагали, щоб учні запа­м'ятовували всі три формули і користувалися формулою для коренів зведеного рівняння, коли а=1 i b парне; другою фор­мулою, коли а — яке завгодно і b непарне; третьою, коли а від­мінне від 1 i b парне .

І в методиках, навіть найновіших, ідеться не про формулу коренів квадратного рівняння, а про «системи формул коренів квадратного рівняння». Навіщо давати учням цілу си­стему формул? Адже кожна з формул — така сама загальна, як і інші, кожна з них придатна для розв'язування будь-якого квадратного рівняння. Чогось нового під час вивчення цієї си­стеми формул учні не взнають. Навіщо ж ми намагаємося заван­тажити пам'ять учнів цілою системою формул для розв'язування однієї й тієї самої задачі? Відповідь одна: щоб зекономити кіль­ка годин. Вважають, що одні рівняння швидше розв'язуються за першою формулою, інші — за другою і т. д. Все це правильно. Але дослідження показує, що в результаті використання бага­тьох формул виграш у часі не такий вже великий. Він не наба­гато перевищує час, потрібний для вивчення цих додаткових формул. А неприємностей при цьому трапляється багато. Коли учням пояснюють дві або три формули, то вони часто жодної не знають добре. У новій програмі також сказано, що учням слід давати тільки одну «загальну формулу розв'язку».


    1. Каталог: Files -> downloads
      downloads -> «Це склад книжок» так скептик говорив, «Це храм душі» естет йому відмовив, Тут джерело всіх радощів земних, І їх дарують нам без цінним словом…»
      downloads -> Для вчителів зарубіжної літератури
      downloads -> Методичні рекомендації щодо викладання світової літератури в загальноосвітніх навчальних закладах у 2013-2014 навчальному році // Зарубіжна літератури в школах України. 2013. №7-8
      downloads -> Талант людини це божий дар
      downloads -> Василь Стус постать,що єднає
      downloads -> Антон павлович чехов
      downloads -> Остап Вишня. Трагічна доля українського гумориста. Моя автобіографія
      downloads -> Урок 1 т ема. Вступ. Роль художньої літератури у формуванні життєвих цінностей людини


      Поділіться з Вашими друзьями:
  1   2   3

Схожі:

2. Квадратні рівняння і їх розв’язання Означення квадратного рівняння iconТема. Рівняння
На цьому уроці ми з Вами маємо вивчити тему «Рівняння». З даною темою ви вже неодноразово стикалися, тому основна наша мета – поглибити...
2. Квадратні рівняння і їх розв’язання Означення квадратного рівняння iconКвадратні рівняння
Мета: систематизувати знання, вміння І навички учнів стосовно видів І методів розв’язування квадратних рівнянь; перевірити набуті...
2. Квадратні рівняння і їх розв’язання Означення квадратного рівняння iconЮ.Є. Кравцова дистанційний курс рівняння. Застосування рівнянь до розв’язування задач

2. Квадратні рівняння і їх розв’язання Означення квадратного рівняння iconДіофантові рівняння та методи їх розвязання
Крім цього, слід відзначити, що багато задач шкільного курсу геометрії теж розв'язується алгебраїчним способом, тобто за допомогою...
2. Квадратні рівняння і їх розв’язання Означення квадратного рівняння iconПоказникові рівняння та нерівності
Сподіваюся, сьогодні на нас чекає І успіх, І радість. Ви зможете продемонструвати власну обдарованість І компетентність. Перед вами...
2. Квадратні рівняння і їх розв’язання Означення квадратного рівняння iconМетодичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни "Рівняння математичної фізики". Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни "Рівняння математичної фізики"
Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни “Рівняння математичної фізики”
2. Квадратні рівняння і їх розв’язання Означення квадратного рівняння iconРівняння І системи рівнянь
Нестандартний урок з алгебри в 9 класі з елементами ділової гри “ Що, як, звідки?”
2. Квадратні рівняння і їх розв’язання Означення квадратного рівняння iconПлан-конспект уроку з математики в 6 класі за темою: «Розв’язування задач на сумісну роботу»
Теоретичне обґрунтування проблеми розв’язання задач на одночасний рух та спільну роботу 6
2. Квадратні рівняння і їх розв’язання Означення квадратного рівняння iconІнформаційний бюлетень нових надходжень до фондів Наукової бібліотеки мду
Рівняння математичної фізики: (практикум) : навчальний посібник / О. І. Бобик, В. В. Литвин. Львів : Новий Світ-2000, 2012. – 256...
2. Квадратні рівняння і їх розв’язання Означення квадратного рівняння iconВсеукраїнська громадська організація
«Інформаційно-психологічна безпека людини, суспільства, держави: стан, проблеми та шляхи їх розв'язання»


База даних захищена авторським правом ©biog.in.ua 2019
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка