Діофантові рівняння та методи їх розвязання



Скачати 316,62 Kb.
Сторінка1/4
Дата конвертації17.08.2017
Розмір316,62 Kb.
  1   2   3   4

ДІОФАНТОВІ РІВНЯННЯ

ТА МЕТОДИ ЇХ РОЗВЯЗАННЯ

1. Історія діофантових рівнянь

2. Лінійні діофантові рівняння

3. Частинний розв’язок діофантового рівняння

4. Діофантові рівняння вищих степенів

5. Задачі математичних конкурсів

6. Завдання для самостійного опрацювання

Традиційно основним завданням шкільного курсу алгебри є навчити учнів розв'язувати рівняння та задачі, що зводяться до них. Недаремно упродовж багатьох років алгебру розглядали як науку про рівняння і способи їх розв'язування. Велике значення рівнянь підкреслював А.Ейнштейн, він казав: «Мені доводиться ділити свій час між політикою і рівняннями. Проте рівняння, на мій погляд, набагато важливіші, тому що політика існує тільки для даного часу, а рівняння будуть існувати вічно». Не можна стверджувати що, наприклад, тема «Функції» має меншу важливість, але навіть функцію, з певної точки зору, можна розглядати, як рівняння виду , що виконується за певних умов та має певні властивості. Крім цього, слід відзначити, що багато задач шкільного курсу геометрії теж розв'язується алгебраїчним способом, тобто за допомогою рівнянь. Отже, без уміння розв'язувати рівняння різного типу та різного ступеня складності не можна оволодіти шкільною програмою з математики.

Упродовж вивчення алгебри учні опановують уміння розв'язувати квадратні, ірраціональні, логарифмічні, тригонометричні, показникові рівняння, а також їх системи, але, на жаль, усі ці рівняння відносяться до так званих визначених, тобто рівнянь з однією змінною або (якщо це система) систем, де кількість змінних дорівнює кількості рівнянь. Загальноприйнята шкільна програма з математики зовсім «забула» про існування невизначених рівнянь (рівнянь, що мають кілька змінних або систем, де кількість змінних більша від кількості рівнянь). Задачі на подібні рівняння зустрічаються лише на математичних олімпіадах. Виникає питання: якщо учень не знайомий навіть з основами теорії невизначених рівнянь, як же він буде їх розв'язувати? Тому за доцільне буде ознайомити учнів з найпростішими невизначеними, або діофантовими рівняннями під час вивчення відповідних тем шкільної програми з алгебри. До речі, не всі невизначені рівняння є діофантовими. Діофантовими називаються лише ті алгебраїчні рівняння або їх системи з цілими коефіцієнтами, в яких кількість змінних більша, ніж кількість рівнянь, а знайти треба тільки цілі або раціональні розв'язки. Отже, до діофантових рівнянь найчастіше зводяться задачі, за змістом яких невідомі значення величин можуть бути тільки цілими числами. Важливість даної теми ще й у тому, що діофантові рівняння дають велику можливість для розвитку логічного мислення учнів, бо загальних способів їх розв'язування немає, до кожного типу рівнянь треба підходити творчо, використовуючи пошукові методи, які, в першу чергу, направлені на формування учня як особистості, здатної до самостійної, творчої і діяльності.

Коли ж ми можна розпочати знайомство учнів з найпростішими діофантовими рівняннями? Слід підкреслити, що невизначені рівняння все ж таки з'являються в шкільному курсі алгебри. У 7 класі вводять поняття лінійного рівняння з двома змінними або рівняння вигляду, вводять означення розв'язку подібного рівняння, а потім переходять до його геометричного змісту, але алгебраїчні способи розв'язування при цьому не розглядаються. Саме у цій темі можна почати розглядати основи теорії невизначених рівнянь першого степеня. Потім у 8 класі під час вивчення теми „Квадратні рівняння” показати способи розв’язування найпростіших діофантових рівнянь другого степеня і т. д. Більш ширше діофантові рівняння можна розглянути у ході підготовки до олімпіад, конкурсів.


Історія діофантових рівнянь

Із часів Евкліда й Архімеда змінюються зміст і форма античної математики. Процес формування нових теорій сповільнюється, а згодом припиняється й зовсім. Але він був тривалим і позначився не відразу. Найвиразніше він виявився в творчості останнього видатного математика античного світу – Діофанта Олександрійського.

Історія майже нічого не зберегла про його життя. Тільки опосередковано вдалося встановити, коли приблизно він жив. А в популярному в X-XIV ст. збірнику віршованих арифметичних задач „Грецька онтологія” вміщено задачу під назвою „Епітафія Діофанта”.

Задача зводиться до рівняння першого степеня, розв’язавши яке дізнаємося, що Діофант жив 84 роки. Ось і всі відомості про його життя.

Ще більшою загадкою, ніж біографія Діофанта, стала для науки його „Арифметика”, з 13 книг якої збереглося лише шість. У них подано 189 задач з розв’язаннями і поясненнями. За формою „Арифметика” просто збірник задач, але за змістом – унікальне явище, справжнє чудо історії математики.

Уже вступ до книги свідчить про великий крок уперед, який зробив Діофант порівняно з математиками класичної давнини. Для них одиниця ще була не подільна, її частини, тобто дроби виду , були тільки відношеннями цілих чисел, а не числами, - відношенням діагоналі квадрата до сторони. Про від’ємні числа ще й не йшлося. Діофант шукає розв’язки задач у додатних раціональних числах, а в проміжних обчисленнях користується і від’ємними числами. Він перший вводить буквену символіку для перших шести степенів невідомого і вільного члена, знак від’ємного показника степеня та рівності. Діофант формулює правило додавання до обох частин рівняння однакових членів, зведення подібних. Назви степенів змінної ще мають геометричну інтерпретацію (квадрат, куб), які збереглися й до наших днів, але вчений розглядає квадрато-квадрати і квадрато-куби як числа і підсумовує квадрат з кубом і т.д. Отже, алгебру Діофант будує вже не на геометрії, як це робив Евклід, а на арифметиці, при цьому зі своєю мовою і символікою. Природно, що такі ідеї мали бути результатом певного розвитку математичної думки. Проте ми не бачимо в творця „Арифметики” попередників і не зрозуміло, як здійснювалася еволюція його поглядів, що була, здається, під силу лише поколінням учених. Це найбільша загадка математики.

Найпростіші діофантові рівняння розв’язували вже шумеро-вавілонські математики, піфагорійці й Евклід. Діофант розробляє, по суті, цілу теорію таких рівнянь. З неї в сучасній науці сформувалася окрема галузь математики – діофантовий аналіз, або діофантова геометрія.

Ідеям і задачам Діофанта судилася довга й щаслива доля. Він передав їх математикам Середньої Азії, Близького Сходу та Індії. У XVII ст. їх висвітлив по-новому П'єр Ферма (1601—1665). Відтоді проблеми, які заповів нащадкам Діофант, привертають увагу найвидатніших учених. Деякі з них розв'язані, інші — не розкрито й досі. Дві проблеми Діофанта особливо пам'ятними сторінками вписані в історію математики.

Діофантові рівняння представляють великий науковий інтерес у теорії чисел і безпосередньо зв'язані з рішенням задач, що виникають у реальному житті. Зокрема, відомою задачею теорії діофантових рівнянь донедавна була проблема Ферма.

П’єр Ферма (1601 - 1665), вивчаючи "Арифметику" Діофанта, зробив на полях цієї книги знамениту позначку: "Я знайшов воістину дивний доказ того, що рівняння при n > 2, не має рішень у цілих числах, однак поля цієї книги занадто малі, щоб тут його умістити". Це одне із самих марних математичних тверджень, твердження одержало назву “Великої теореми Ферма" і, чомусь, викликало дійсний ажіотаж серед математиків і аматорів (особливо після призначення в 1908 році за його доказ премії в 100 000 німецьких марок). Спроби довести цю теорему породили цілі розділи сучасної алгебри, алгебраїчної теорії чисел, теорії функцій комплексної змінної й алгебраїчної геометрії, практична користь від який уже не підлягає ніякому сумніву. Сама теорема була доведена в 1995 році; П’єр Ферма перебільшив на полях "Арифметики", тому що він фізично не міг придумати подібного доказу, що вимагає колосальної сукупності математичних знань. Елементарного доказу великої теореми Ферма поки ніхто з жителів нашої планети знайти не зміг, хоча над його пошуком билися кращі розуми останніх трьох сторіччя.

У 1900 р. видатний німецький математик Д. Гільберт (1862—1943) на другому Міжнародному математичному конгресі виголосив доповідь «Математичні проблеми», в якій поставив перед вченими 23 задачі з різних розділів математики, розв'язання яких мало важливе значення для подальшого розвитку математики.

Десятою проблемою була «задача про розв'язність діофантового рівняння», сформульована так: «Нехай дано діофантове рівняння з довільними невідомими і цілими раціональними числовими коефіцієнтами. Назвіть спосіб, за допомогою якого можна після скінченого числа операцій встановити, чи розв'язне це рівняння в цілих раціональних числах».

Найпростіші діофантові рівняння 1-го степеня з двома невідомими розв'язали піфагорійці. До діофантового рівняння привело розв'язання знаменитої задачі Архімеда про биків. Індійські математики розв'язали рівняння і його окремий випадок . Ж.-Л. Лагранж (1736—І813) дослідив розв'язки рівняння .

Учені дістали багато інших важливих результатів. Та все це було лише початком у дослідженні надзвичайно складної загальної проблеми про розв'язність загального діофантового рівняння п-го степеня від т змінних.

Відповіді довелося чекати 70 років. У 1970 р. на Міжнародному математичному конгресі в Ніцці двадцятирічний радянський аспірант Юрій Володимирович Матіясевич сколихнув математичний світ справжньою сенсацією століття — доповів про розв'язання 10-ї проблеми Гільберта. Він довів, що ніякого загального методу для розв'язання діофантового рівняння не існує.

Доведення Матіясевича дало ще побічні результати, яких він не шукав і які буквально приголомшили математиків своєю несподіванкою. Виявилося, що існує цілочисловий многочлен (щоправда, досить високого степеня і від великого числа змінних) — такий, що при всіх цілих значеннях змінних, коли він додатний, він подає тільки прості числа. Виявляється, що універсальний генератор простих чисел, за яким полювали математики від Ейлера до наших днів, не казкова жар-птиця. Існує й такий многочлен, усі цілі значення якого (при цілих значеннях змінних) подають послідовність: , і тільки такі числа. Результати Матіясевича проливають світло на існування глибоких ще не розгаданих залежностей на множині цілих чисел.

У другому томі «Математичної енциклопедії» дев'ять статей названо ім'ям ученого, ідеї якого живуть і в наш космічний вік. Це статті:


  1. Діофантовий аналіз.

  2. Діофантовий предикат.

  3. Діофантова геометрія.

  4. Діофантова множина.

  5. Діофантові наближення.

  6. Діофантові проблеми адитивного типу.

  7. Діофантові рівняння.

  8. Діофантові наближення метричної теорії.

  9. Діофантові наближення проблема ефективізації.

Діофантовими'>Лінійні діофантові рівняння

Діофантовими називаються алгебраїчні рівняння і системи алгебраїчних рівнянь з цілими коефіцієнтами, що мають число невідомих, переважаюче число рівнянь. Система стає невизначеною і тому знаходять цілі або раціональні розв`язки.

В інших джерелах можна знайти наступне визначення діофантового рівняння. Діофантовими рівняннями називаються рівняння виду .



Лінійним діофантовим рівнянням із двома невідомими називається рівняння виду де - цілі числа,

Це рівняння має безліч розв`язків:,

де - будь-який розв`язок,
Метод спуску.

Для розв`язування діофантових рівнянь першого степеня з двома невідомими можна використовувати метод спуску. Розглянемо даний метод на прикладі.


Приклад 1. Розв`язати в цілих числах рівняння

Розв`язання



    1. Виберемо змінну, що має найменший коефіцієнт, і виразимо його через іншу змінну:

Виділимо цілу частину:

Все число буде цілим, якщо цілим виявиться значення Це можливо тоді, коли число без остачі поділиться на 5. Вводимо нову змінну , тоді останнє рівняння запишемо у вигляді: .

Ми прийшли до рівняння такого ж типу як і вихідне рівняння, але вже з меншими коефіцієнтами. Розв`язувати його потрібно відносно змінних і . Аналогічно:






Дробів більше нема, спуск закінчено.

    1. Тепер необхідно „піднятися нагору”. Виразимо через змінну спочатку , потім і .



    1. Формули становлять загальний розв’язок рівняння в цілих числах.

Відповідь:

Приклад 2. Розв’язати в цілих числах рівняння методом спуску.

Розв’язання























Відповідь:
Приклад 3. Розв’язати в цілих числах рівняння методом спуску.

Розв’язання:

































Відповідь:



2. Метод ланцюгових дробів

Загальний розв`язок в цілих числах невизначеного рівняння , де , можна записати у вигляді: , де Розглянемо приклад.


Приклад 1. Розв`язати в цілих числах рівняння

Розв`язання



,

Розкладемо дріб у ланцюговий дріб, одержимо:















38

117













0

0










117

38













114

3










38

3













3

12













8
















6













3

2













2

1










2

1













2

2













0



















n




0

1

2

3

4






0

3

12

1

2



1

0

1

12

13

38



0

1

3

37

40

117


Складаємо таблицю:

Тоді загальний розв’язок буде







, тоді приймаючи , одержимо:.

Відповідь:


Каталог: Files -> downloads
downloads -> «Це склад книжок» так скептик говорив, «Це храм душі» естет йому відмовив, Тут джерело всіх радощів земних, І їх дарують нам без цінним словом…»
downloads -> Для вчителів зарубіжної літератури
downloads -> Методичні рекомендації щодо викладання світової літератури в загальноосвітніх навчальних закладах у 2013-2014 навчальному році // Зарубіжна літератури в школах України. 2013. №7-8
downloads -> Талант людини це божий дар
downloads -> Василь Стус постать,що єднає
downloads -> Антон павлович чехов
downloads -> Остап Вишня. Трагічна доля українського гумориста. Моя автобіографія
downloads -> Урок 1 т ема. Вступ. Роль художньої літератури у формуванні життєвих цінностей людини


Поділіться з Вашими друзьями:
  1   2   3   4

Схожі:

Діофантові рівняння та методи їх розвязання iconТема. Рівняння
На цьому уроці ми з Вами маємо вивчити тему «Рівняння». З даною темою ви вже неодноразово стикалися, тому основна наша мета – поглибити...
Діофантові рівняння та методи їх розвязання icon2. Квадратні рівняння і їх розв’язання Означення квадратного рівняння
Особлива значимість цієї теми полягає в широкому застосуванні рівнянь в найрізноманітніших галузях застосування математики
Діофантові рівняння та методи їх розвязання iconМетодичні вказівки до виконання типового завдання з дисципліни "Рівняння математичної фізики". Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни "Рівняння математичної фізики"
Виконання цього типового завдання передбачається при вивченні дисципліни “Рівняння математичної фізики”
Діофантові рівняння та методи їх розвязання iconЮ.Є. Кравцова дистанційний курс рівняння. Застосування рівнянь до розв’язування задач

Діофантові рівняння та методи їх розвязання iconРівняння І системи рівнянь
Нестандартний урок з алгебри в 9 класі з елементами ділової гри “ Що, як, звідки?”
Діофантові рівняння та методи їх розвязання iconВпровадження методів активізації
У цій ситуації на допомогу вчителям прийдуть активні та інтерактивні методи ( або методи активізації пізнавальної діяльності ), що...
Діофантові рівняння та методи їх розвязання icon1. Поняття, завдання, об’єкт, предмет і система криміналістика. Методи криміналістики
Зі злочинністю. Саме криміналістика на основі своїх наукових досліджень та розробок пропонує оперативно-розшуковим працівникам, слідчим,...
Діофантові рівняння та методи їх розвязання iconІнформаційний бюлетень нових надходжень до фондів Наукової бібліотеки мду
Рівняння математичної фізики: (практикум) : навчальний посібник / О. І. Бобик, В. В. Литвин. Львів : Новий Світ-2000, 2012. – 256...
Діофантові рівняння та методи їх розвязання iconПрограма навчальної дисципліни методи аналізу нечислових даних в соціології для студентів окр "магістр"
Навчальна дисципліна "“Методи аналізу нечислових даних в соціології"" є складовою освітньо-професійної програми підготовки фахівців...
Діофантові рівняння та методи їх розвязання iconПоказникові рівняння та нерівності
Сподіваюся, сьогодні на нас чекає І успіх, І радість. Ви зможете продемонструвати власну обдарованість І компетентність. Перед вами...


База даних захищена авторським правом ©biog.in.ua 2019
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка