Ю.Є. Кравцова дистанційний курс рівняння. Застосування рівнянь до розв’язування задач



Сторінка2/4
Дата конвертації29.07.2017
Розмір0,52 Mb.
1   2   3   4
Тема:

Мета: Після вивчення цієї теми ви поглибите, розширите й узагальните відомості про види рівнянь та способи їх розв’язування. Зрозумієте зміст поняття «лінійне рівняння з однією змінною». Навчитеся розв’язувати лінійне рівняння за схемою.

Практичне застосування теоретичного матеріалу: дуже часто на уроках з інших предметів, або в повсякденному житті людині потрібно розв’язати задачі, які зводяться до розв’язання лінійного рівняння. Для того, щоб у вас не виникло з цим проблем, вам необхідно вміти розв’язувати рівняння і застосовувати свої знання на практиці. На цьому занятті ви зможете це опанувати.

Глосарій термінів: Рівносильні рівняння — це рівняння, які мають одні і ті ж розв'язки. (Рівняння, які не мають розв'язків, також є рівносильними)

Корінь рівняння – це значення змінної, яке перетворює рівняння в вірну рівність.

Розв’язати рівняння – це означає знайти його корені або показати, що їх немає.

Лінійне рівняння з однією змінною – це рівняння виду ах=b, у якому а і b – деякі відомі числа, а х- змінна.

Натуральні числа – це числа, які використовуються при лічбі (1, 2, 3,…).

Зміст заняття:

  1. Повторення, поглиблення та систематизація знань

На другому занятті Вам пропонувалося розв’язати тренувальні вправи. Давайте перевіримо їх: 1) х=-1; 2) х=1; 3) х=-6; 4) х=2,5; 5) х=14; 6) х=-1.

Продовжимо розширювати та узагальнювати знання.

Всі рівняння, що їх розв’язували учні в молодших класах, є рівняння, що зводяться до лінійних, однак відповідна термінологія вводиться вперше. Дослідимо кількість розв’язків рівняння ах= b при різних а і b. Виділимо три випадки:


  1. а≠0 і b будь-яке. Таке рівняння має один корінь х=. Наприклад: 10х=120, х=120:10, х=12.

  2. а=0; b≠0. Таке рівняння немає коренів.

Наприклад: 0х=24 на нуль ділити не можна.

  1. а=0; b=0. Таке рівняння має безліч коренів.

Наприклад: 0х=0 виконується для будь-якого х.

Зауваження: Під час розв’язування рівняння ах=b при а≠0 поширеною є така помилка: спроба знаходження х як частки у вигляді цілого числа або десяткового дробу (часто чуємо, що рівняння 3х=2 не має розв’язку бо 2 на 3 не ділиться націло). Розглянемо розв’язок цього рівняння: 3х=2

х=2:3


х=

Тому, наголошуємо, що корінь існує завжди і може бути як натуральним числом (див. глосарій), так і цілим або дробовим – звичайним чи десятковим.



  1. Означення лінійного рівняння з однією змінною

Розв’язуючи рівняння, під час рівносильних перетворень ми дістаємо рівняння, що можна записати в одному вигляді, якщо записати буквами, а саме ах=b. Рівняння такого виду, де а і b – деякі відомі числа, а х- змінна називається лінійним.

До речі, усі рівняння, які ви сьогодні розв’язували були лінійними рівняннями.

Наприклад, рів­няння 3х =7 ; -4y= 5 ; -х = -2 є лінійними.

Наведіть свої приклади лінійних рівнянь, вкажіть значення а і b.

Число а називають коефіцієнтом при змінній х, а число b — вільним членом рівняння.
Розв'язуючи рівняння, його спочатку намагаються спрос­тити і звести до лінійного. Роблять це здебільшого в такій по­слідовності.


  1. Спрощують рівняння (якщо є знаменники, то позбуваються їх; якщо є дужки, то розкривають їх).

  2. Переносять члени зі змінними в ліву частину рівняння, а чле­ни, які не містять змінної, у праву.

  3. Зводять подібні доданки.

  4. Ділять обидві частини рівняння на коефіцієнт при змінній, якщо він не дорівнює нулю. Якщо коефіцієнт при змінній дорівнює нулю, то з’ясовують: рівняння має безліч коренів чи їх немає.


III. Приклади рівнянь, що зводяться до лінійних і схема їх розв’язання

Розв’яжемо рівняння:

а) 5(2х-1)=4х-23, розкриємо дужки маємо: 10х-5=4х-23, перенесемо члени зі змінними в ліву частину рівняння, а чле­ни, які не містять змінної, у праву маємо:10х-4х=-23+5, зведемо подібні доданки маємо: 6х=-18, поділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при змінній маємо: х=-3.

Відповідь: -3.


б) 3х-4=3(х-2) виконуємо аналогічні перетворення маємо:

3х-4=3х-6;

3х-3х=-6+4;

0х=-2.


Відповідь: Рівняння коренів немає.

в) 3х-2(х-1)=х+2;

3х-2х+2=х+2;

3х-2х-х=2-2;

0х=0.

Відповідь: Рівняння має безліч коренів.


IV.Виконання вправ

Пропонуємо вам розв’язати наступні рівняння:

а) 36х=-54; б) 5х-3=17; в) 7х+32=12х+25; г)2(х-11)-5(5-2х)=-23.

Перевір себе: а)1,5 або 1; б) 4; в) -1; г) -3.


V.Підсумок заняття

Якщо ви уважно опрацювали третє заняття то ви зрозуміли поняття «лінійне рівняння з однією змінною», навчилися розв’язувати лінійне рівняння за зразком. Для закріплення пропонуємо виконати наступні завдання.

1.Розв’язати рівняння та знайти добуток коренів:

2.Розв’язати рівняння та знайти суму коренів.



На наступному занятті ви можете перевірити свої розв’язки.

До зустрічі на занятті №4.

Тест 3
1. Серед вказаних чисел виберіть те, яке є натуральним

А) 1,5; Б) -4; В) 7; Г) -0,5.
2. Серед вказаних чисел виберіть те, яке є дробовим

А) 4; Б) ; В) -8; Г) 0.


3. Який корінь має рівняння 7х=3?

А) ; Б) Жодного; В) ; Г) 0,4.


4. Серед наведених рівнянь виберіть лінійне рівняння з однією змінною

А) 5х2 -1=6; Б) 4(х-1)=16; В)+1=6; Г) 8+2=10.


5. Яке з рівнянь не є лінійним з однією змінною (а,в – числа)?

А) а+х=в; Б) а-х=в; В) а : х = в; Г) а∙х=в.


6. В якому випадку немає коренів у рівняння а∙х=в ?

А) а=12, в=7; Б) а=7, в=12; В) а=8, в=0; Г) а=0, в=8.


7. В якому випадку рівняння а∙х=в має один корінь?

А) а=0, в=0; Б) а=3, в=0; В) а=0, в=4; Г) а=0, в=-13.


8. В якому випадку рівняння а∙х=в має безліч коренів?

А) а=0, в=0; Б) а=11, в=14; В) а=3, в=0; Г) а=0, в=3.


9. Розв’яжіть рівняння (1-3) та установіть відповідність між коренями (А-Г)
1.4х=7; А. Жодного;

А Б В Г






































2. 0∙х=14; Б. Один ;

1
3. 0∙х=0; В.Два; 2

3
Г. Безліч

10. Розв’яжіть два рівняння 3(2х-4)=16-х та 0,1(у+2)=5, серед отриманих коренів виберіть найбільший

А) 4; Б) 4,8; В) 48; Г) -4.
11. Розв’яжіть два рівняння 5х-3=2х+12 та 0,5у+3(у-2)=2у, знайдіть добуток коренів

А) 20; Б) 9; В) 5; Г) 4.

12. Розв’яжіть два рівняння 2-3х=7х-8 та 2у=0,5(у-3)+у, знайдіть суму коренів

А) -1; Б) -2; В) 1; Г) 0.



Заняття №4

Рекомендації щодо опрацювання заняття
Ви продовжуєте вивчення курсу «лінійні рівняння з однією змінною». Сподіваємося, що на занятті №3 ви зрозуміли поняття «лінійне рівняння з однією змінною», поглибили свої знання, здобуті раніше. Тож продовжимо. Заняття №4 складається з трьох частин: I. Поняття рівняння з модулем; II. Виконання вправ; III. Підсумок заняття. Вправи містять відповіді. Намагайтеся самостійно виконувати завдання і тільки потім перевіряти себе. В глосарії ви знайдете терміни, які треба запам’ятати.

Бажаємо успіхів!



Тема:

Мета: Після вивчення цієї теми ви зрозумієте що таке рівняння з модулем, розширите свої відомості про цей вид рівнянь. Покращите вміння розв’язувати рівняння з модулем.

Практичне застосування теоретичного матеріалу: для того, щоб ви могли розв’язувати більш складні рівняння необхідно знати і вміти розв’язувати рівняння з модулем. Вивчений матеріал допоможе вам на ДПА та ЗНО. На цьому занятті ви зможете це опанувати.

Глосарій термінів: Корінь рівняння – це значення змінної, яке перетворює рівняння в вірну рівність

Розв’язати рівняння – це означає знайти його корені або показати, що їх немає.

Рівняння з модулем – це рівняння виду |х|=а.

Модуль числа х – це відстань від початку відліку до точки, що зображує число х на координатній прямій.

Модуль числа х – це саме число, якщо х≥0 і протилежне йому, якщо х<0.

Зміст заняття:

  1. Поняття рівняння з модулем

На третьому занятті Вам пропонувалося розв’язати тренувальні вправи. Давайте перевіримо їх: 1. Відповідь: 5 та 4, добуток – 20.

2. Відповідь: 1 та -1, сума – 0.

Нагадаємо, що модулем додатного числа й числа 0 є це саме число, модулем від’ємного числа є протилежне йому число. Наприклад: |5|=5;

|-5|=5; |0|=0.

Рівняння |х|=7; |х+9|=4; |х-1|+5=42 містять змінну під знаком модуля. Такі рівняння називаються рівнянням з модулем. Для розв’язання таких рівнянь використовується геометричний зміст модуля числа та означення модуля числа(дивись глосарій).

II. Виконання вправ.

Розглянемо як розв’язувати рівняння з модулем на прикладах:



1. |х|=4, на координатній прямій існують дві точки, розміщені на відстані 4 одиниці від початку відліку. Це точки, що відповідають числам 4 і -4. Тому рівняння |х|=4 має два корені: -4 і 4.

2. |х|=0 має один корінь х=0.

3. | х|=-5 не має коренів (модуль будь-якого числа є невід’ємним числом і не може дорівнювати -5)

При розв’язанні 1-3 рівняння було використано геометричний зміст модуля. Наступні 4-5 рівняння розв’яжемо за допомогою означення модуля.


4. |х|-2=7х

Якщо х≥0 тоді рівняння буде мати такий вигляд: х-2=7х;

х-7х=2;

-6х=2;


х=-3.

Число -3 не задовольняє нерівності х≥0, тому воно не є коренем рівняння.

Якщо х<0 тоді рівняння буде мати такий вигляд: -х-2=7х;

-х-7х=2;


-8х=2;

х=-4.


Число -4 задовольняє нерівності х<0, тому воно є коренем рівняння.

Відповідь: -4.



5. |х+5|+3х=17

Якщо х+5≥0 (х≥-5) тоді рівняння буде мати такий вигляд: х+5+3х=17;

4х=17-5;

4х=12;


х=3.

Число 3 задовольняє нерівності х≥-5, тому воно є коренем рівняння.

Якщо х+5<0 (х<-5) тоді рівняння буде мати такий вигляд: -(х+5)+3х=17;

-х-5+3х=17;

-2х=22;

х=-11.


Число -11 задовольняє нерівності х<-5, тому воно є коренем рівняння.

Відповідь: -11; 3.


III. Підсумок заняття.

|х|=а

а>0 а=0 а<0

х=а або х=-а




х=0




коренів немає

Для закріплення ваших практичних навичок пропонуємо розв’язати вам наступні рівняння: а) |х|=9; б) |х|=-2; в) |х|+3х=8; г) |2х-7|=11.

На наступному занятті ви можете перевірити свої розв’язки.

До зустрічі на занятті №5.



Тест №4
1. Розв’яжіть рівняння |х|=5

А) 5; Б) 5; -5; В) -5; Д) жодного.

2. Розв’яжіть рівняння |х|=0

А) 0; Б) 1; В) не має вірної відповіді.

3. Розв’яжіть рівняння |х|=-3

А) 3; Б) -3; В) 3; -3; Г) рівняння коренів не має.

4. Знайдіть суму коренів рівняння |х|+1=4

А) -3; Б) 0; В) 3; Г) 6.
5. Знайдіть найбільший корінь рівняння |х+5|+3х=17

А) 11; Б) -3; В) 3; Г) -11.


6. Знайдіть найменший корінь рівняння |2х-7|=11

А) -9; Б) 9; В) 2; Г) -2.


7.Знайдіть корінь рівняння |2х+1|+4=27 , який задовольняє умові 0<х≤11.

А) 12; Б) 11; В) -12; Г) -12; 11.


8. Установіть відповідність між значенням а (1-3) та кількістю коренів (А-Г) рівняння |x|=a

А Б В Г



















































1. a>0; А) один; 1

2. a<0; Б) два; 2

3. a=0; В)три; 3

Г) жодного. 4

9. Виберіть правильне твердження:

А) Корінь рівняння – це значення невідомої змінної;


Б) Розв’язати рівняння – це означає знайти його корінь;
В) Рівняння з модулем це рівняння виду |х|=a;
Г) Модуль числа х – це саме число х.

10. Число -9 є коренем рівняння

А) |х|=9; Б) |х|= -9; В) х+8=1 Г) х-9=0
11. Розв’яжіть рівняння |х|+3х=8

А) 4; Б) коренів немає; В) 2;4; Г) 2.


12. Знайдіть суму коренів рівняння |2х+2|-|х-3|=4

А) 0; Б) -10; В) -7 ; Г) 18.



Заняття №5

Рекомендації щодо опрацювання заняття

Ви продовжуєте вивчення курсу «лінійні рівняння з однією змінною». Сподіваємося, що на занятті №4 ви зрозуміли поняття «рівняння з модулем», пригадали, що називається модулем числа, поглибили свої знання, здобуті раніше. Навчилися розв’язувати рівняння з модулем. Тож продовжимо. Заняття №5 складається з трьох частин: I. Поняття рівняння, що містять дроби.; II. Виконання вправ; III. Підсумок заняття. Вправи містять відповіді. Намагайтеся самостійно виконувати завдання і тільки потім перевіряти себе. Кожен етап закінчується висновком, який треба запам’ятати, він знадобиться тобі на наступних заняттях. В глосарії ви знайдете всі необхідні терміни.

Бажаємо успіхів!

Тема:

Мета: Після вивчення цієї теми ви зрозумієте що таке рівняння, що містять дроби, розширите свої відомості про цей вид рівнянь. Покращите вміння розв’язувати рівняння, що містять дроби.

Практичне застосування теоретичного матеріалу: «Світ математики – це немовби багатоповерхова будівля, причому ідеї кожного поверху зв’язані як між собою, так і тими, що знаходяться вище і нижче. Чим нижче поверх, тим глибші(і, взагалі кажучи, важчі) ідеї» - так сказав Годфрі Гарольд Харді(1877 – 1947), англійський математик. Тому ми сьогодні будемо рухатися різними «поверхами алгебри».

Для того, щоб ви могли розв’язувати більш складні рівняння необхідно знати і вміти розв’язувати рівняння з модулем. Вивчений матеріал допоможе вам на ЗНО. На цьому занятті ви зможете це опанувати.



Глосарій термінів: Корінь рівняння – це значення змінної, яке перетворює рівняння в вірну рівність

Розв’язати рівняння – це означає знайти його корені або показати, що їх немає.

Рівняння з модулем – це рівняння виду |х|=а.

Рівняння, що містять дроби – це рівняння коефіцієнти якого дробові числа (десяткові або звичайні).

НСК(найменше спільне кратне) – це найменше число, яке ділиться на дане без остачі.

Зміст заняття:

  1. Поняття рівняння, що містять дроби

На четвертому занятті Вам пропонувалося розв’язати тренувальні вправи. Давайте перевіримо їх: а) -9 і 9; б) коренів немає; в) 2; г) 9 і -2.

Вам приходилося виконувати дії з дробовими числами. Сьогодні ви будете працювати із звичайними дробами. Давайте пригадаємо Як виконувати дії із звичайними дробами на прикладах:

1) +=; 2) -=.

Висновок: Щоб додати дроби з однаковими знаменниками треба додати їх чисельника, а знаменник залишити без змін. Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменники залишити без змін.

3) += +==1.



Висновок: Щоб додати дроби з різними знаменниками треба знайти НСК (дивись глосарій) знаменників тобто НСК(3;7)=21. До кожного дробу знайти доповняльний множник, помножити чисельник і знаменник дробу на цей доповняльний множник, а потім виконати дію додавання дробів з однаковими знаменниками. Віднімання виконується аналогічно.

Розгляньте рівняння =+, воно містить дробові коефіцієнти, тому таке рівняння називають рівняння, що містить дроби. Давайте навчимося їх розв’язувати.



=+, знайдемо НСК(18;12;9)=36, та помножимо на нього обидві частини рівняння: 36·=36·(+), виконаємо множення, маємо:

=+ ;

2(2х-1)=3х+4;

4х-2=3х+4;

4х-3х=4+2;

х=6.

Відповідь: 6.



Розібравши цей приклад ви повинні зрозуміти, що деякі рівняння з дробами шляхом виконання рівносильних перетворень та використання властивостей чисел можуть бути зведені до лінійних рівнянь з однією змінною.

Давайте зараз складемо алгоритм розв’язування лінійного рівняння:

1. Позбутися знаменників.

2. Розкрити дужки.

3. Перенести члени зі змінним в ліву частину рівняння, а інші у праву.

4. Звести подібні доданки.


Коментоване розв’язування рівняння, відповідно до алгоритму.

Застосуємо даний алгоритм до розв’язування рівнянь.





  • Позбудемось знаменників, обидві частини рівняння помножимо на 10, 10 – найменший спільний знаменник дробів, що входять до рівняння.

2(3х+1) – 5(х+2)=х-8.

  • Розкриємо дужки: 6х + 2 - 5х - 10 = х - 8.

  • Перенесемо члени зі змінним в ліву частину рівняння, а інші у праву:

6х – 5х –х = - 8 – 2 + 10.

  • Зведемо подібні доданки:

0=0.

Відповідь: х- будь-яке число.



ІІ. Виконання вправ

Зразок запису:

Відповідь: 84.

Пропонуємо розв’язати наступні рівняння:

1) -=2; 2) -=; 3) -=1.

Перевір себе: 1) -8; 2) 13; 3)11.

III. Підсумок заняття

Розгляньте розв’язок рівняння №2 -=1 ·36; 4(7х-4)-9(3х+3)=6(8-х);

28х-16-27х-27=48-6х; х-43=48-6х; 7х=91; х=13

Відповідь: 13.

Сподіваємося ви змогли самостійно розв’язати це рівняння.

Для закріплення ваших практичних навичок пропонуємо розв’язати вам наступні рівняння, що зводяться до лінійних.



До зустрічі на занятті №6.



Тест №5
1.Якому многочлену дорівнює вираз: –(5х – 7) + ( 8х – 4)


А) 13х +3; Б) 3х+3; В) 3х-11; Г) 13х -11.
2. Спростіть вираз 9у-5(3+у)
А) 4у-5; Б) 14у-5; В) 4у-15; Г) 4у-15.
3. Обчисліть значення виразу ( - )∙16
А) 2; Б) 4; В) 6; Г) 8.
4. Чому дорівнює сума +
А) ; Б) ; В) ; Г) .
5. Обчисліть значення виразу ():

А) ; Б) ; В) ; Г) .


6. Знайдіть НСК чисел 18 і 12

А) 2; Б) 9; В) 36; Г)72.

7. Знайдіть корінь рівняння х=6

А) 2; Б) 3; В) 9; Г) 18.

8. Знайдіть корінь рівняння 2х-=3

А) -2; Б) -1; В) 2; Г) 1.


9. Вкажіть порядок розв’язування рівняння, що містить дроби
Розкрити дужки

Перенести члени зі змінника в ліву частину, а інші в праву

Позбутися знаменників

Звести подібні доданки


10. Знайдіть корінь рівняння - = 2

А) 8; Б) -8; В) 2; Г) -2.


11. Розв’яжіть рівняння (1-4) та установіть відповідність між коренями (А-Д)
1. = ; А. 18;

А Б В Г Д































































2. |x-3| = 15; Б. 2;

1

3. x = 40; В. ; 2



3

4. 4(7x-3) = 44. Г. 18 ,-12; 4

Д. 72.

12. Розв’яжіть рівняння (1х-3) = (х-1,5)-1,5


А) -2; Б) не має розв’язків; В) 2; Г) 0.5.


Заняття №6

Рекомендації щодо опрацювання заняття

Ви продовжуєте вивчення курсу «лінійні рівняння з однією змінною». Сподіваємося, що на занятті №5 ви покращили вміння розв’язувати рівняння, що містять дроби, поглибили свої знання, здобуті раніше. Тож продовжимо. Заняття №6 складається з трьох частин: I. Поняття математичної моделі задачі; II. Розв’язування задач; III. Підсумок заняття. Вправи містять відповіді. Намагайтеся самостійно виконувати завдання і тільки потім перевіряти себе. В глосарії ви знайдете всі необхідні терміни.

Бажаємо успіхів!




Поділіться з Вашими друзьями:
1   2   3   4

Схожі:

Ю.Є. Кравцова дистанційний курс рівняння. Застосування рівнянь до розв’язування задач icon2. Квадратні рівняння і їх розв’язання Означення квадратного рівняння
Особлива значимість цієї теми полягає в широкому застосуванні рівнянь в найрізноманітніших галузях застосування математики
Ю.Є. Кравцова дистанційний курс рівняння. Застосування рівнянь до розв’язування задач iconКвадратні рівняння
Мета: систематизувати знання, вміння І навички учнів стосовно видів І методів розв’язування квадратних рівнянь; перевірити набуті...
Ю.Є. Кравцова дистанційний курс рівняння. Застосування рівнянь до розв’язування задач iconУрок алгебри, 7 клас Тема уроку. Множення одночлена І многочлена. Розв’язування вправ. Мета уроку
Мета уроку. Закріпити І вдосконалити уміння застосовувати алгоритми множення одночлена на многочлен до перетворення (спрощення) цілих...
Ю.Є. Кравцова дистанційний курс рівняння. Застосування рівнянь до розв’язування задач iconДіофантові рівняння та методи їх розвязання
Крім цього, слід відзначити, що багато задач шкільного курсу геометрії теж розв'язується алгебраїчним способом, тобто за допомогою...
Ю.Є. Кравцова дистанційний курс рівняння. Застосування рівнянь до розв’язування задач iconЗміст робота з обдарованими дітьми-важлива ділянка роботи сучасної школи; Приклади І розв’язки нестандартних задач; Розв’язки рівнянь І систем рівнянь вищих степенів; Приклади самостійних І контрольних робіт вищого рівня
В цьому посібнику поміщені системи завдань, які можна розв’язувати з учнями додатково при вивченні тієї чи іншої теми. Також підібрані...
Ю.Є. Кравцова дистанційний курс рівняння. Застосування рівнянь до розв’язування задач iconПлан-конспект уроку з математики в 6 класі за темою: «Розв’язування задач на сумісну роботу»
Теоретичне обґрунтування проблеми розв’язання задач на одночасний рух та спільну роботу 6
Ю.Є. Кравцова дистанційний курс рівняння. Застосування рівнянь до розв’язування задач icon«Хвильова і квантова оптика». Розв'язування задач. Актуалізація знань
Задачі для розв'язування на уроці На який кут відхиляється промінь від початкового напряму поширення, якщо кут падіння на поверхню...
Ю.Є. Кравцова дистанційний курс рівняння. Застосування рівнянь до розв’язування задач iconТема. Рівняння
На цьому уроці ми з Вами маємо вивчити тему «Рівняння». З даною темою ви вже неодноразово стикалися, тому основна наша мета – поглибити...
Ю.Є. Кравцова дистанційний курс рівняння. Застосування рівнянь до розв’язування задач iconКнму «П’ятихатський районний методичний кабінет» П’ятихатської районної ради Дніпропетровської області
Шеремет Т. А. Розвиток критичного мислення учнів під час розв’язування задач з фізики
Ю.Є. Кравцова дистанційний курс рівняння. Застосування рівнянь до розв’язування задач iconПоказникові рівняння та нерівності
Сподіваюся, сьогодні на нас чекає І успіх, І радість. Ви зможете продемонструвати власну обдарованість І компетентність. Перед вами...


База даних захищена авторським правом ©biog.in.ua 2019
звернутися до адміністрації

    Головна сторінка